Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
(d) Se possível, determine uma base beta de R^2 cujos elementos são autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se existe uma base para composta por autovetores desse operador . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 2 & 2 1 & 3 como uma matriz. Dado , a matriz associada é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica det( 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda ) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 cdot 1 = 0 , onde (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 = 0 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = 0 lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 é a matriz identidade e lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 representa os autovalores.
lambda1 = 4 e lambda2 = 1
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores s��o:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para -2 & 2 1 & -1 x y = 0 0 :
Resolvemos 1 1:

[
1 & 2 1 & 2 x y = 0 0
-2 1


]
Da primeira linha: .
Então, um autovetor é qualquer múltiplo de .
Para :
Resolvemos :

[


]
Da primeira linha: .
Então, um autovetor é qualquer múltiplo de .

Passo 5

Agora que temos os autovetores 1 1 e -2 1, vamos verificar se eles formam uma base de . Para isso, basta confirmar que são vetores linearmente independentes.
Como os vetores não são múltiplos um do outro, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Resposta

Sim, uma base beta = 1 1, -2 1 de composta por autovetores de é:

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