Considere
transformação linear com
(a) Determine o núcleo e Imagem de
(b) Determine se
é bijetora
(c) Determine a matriz
onde
e
bases de
(d) Verifique se
é isomorfismo de
e encontre
(e) Determine
(a) Determine o núcleo e Imagem de
(b) Determine se
(c) Determine a matriz
(d) Verifique se
(e) Determine
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo e a imagem de ;
(b) dizer se é bijetora;
(c) determinar a matriz onde
e
;
(d) verificar se é isomorfismo de
e encontrar
;
(e) determinar .
(a) determinar o núcleo e a imagem de
(b) dizer se
(c) determinar a matriz
(d) verificar se
(e) determinar
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de
(já escrita acima). - As bases
e (onde é a base canônica padrão). - Nada mais é fornecido; toda conta pode ser feita a partir daqui.
Passo 2
Vamos escrever
em termos de coordenadas na base canônica
. Para isso aplicamos
aos vetores canônicos:
Portanto, a matriz de
na base canônica (colunas são imagens dos vetores da base canônica) é
Isto é útil para calcular núcleo, imagem e inversa.]
Passo 3
Encontrando o núcleo
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
. Logo
Explicação didática: o núcleo contém apenas o vetor nulo, então
é injetora. Para achar núcleo em geral, resolve-se
.]
Passo 4
Determinar a imagem
. As colunas da matriz
são vetores em
:
A imagem é o subespaço gerado por essas colunas:
Como os vetores
e
são linearmente independentes (verificável porque nenhuma constante não nula os escala um ao outro), eles formam uma base de
. Assim
e
Comentário prático: outra forma rápida é calcular
, daí
e
.
Passo 5
Resposta da parte (b) — bijetividade. Como
(injecção) e
(sobjectividade), a transformação
é bijetora. Em termos de matrizes,
garante que
é invertível, ou seja,
é um isomorfismo linear.
Passo 6
Parte (c): interpretar a notação
. Vou tomar a convenção natural:
é a matriz que transforma coordenadas do domínio expressas na base
em coordenadas da imagem expressas na base
. Assim as colunas dessa matriz são as coordenadas, na base
, das imagens dos vetores de
.
Calcular
nas vetores de
:
Como
é a base canônica, as coordenadas de
e
em
são simplesmente os próprios pares. Portanto a matriz pedida tem colunas essas imagens:
(Dica prática: sempre aplicar
aos vetores da base do domínio e escrever o resultado nas coordenadas da base do contradomínio.)]
Passo 7
Parte (d): encontrar
onde
. Logo
Substituindo em
dá
Portanto
Em forma matricial, a inversa de
é
pois
Passo 8
Parte (e): determinar
. Pela mesma convenção que usamos antes,
é a matriz que leva coordenadas na base
(domínio) para coordenadas na base
(contradomínio). Observação prática: como
é a matriz que leva coordenadas
, então
Já calculamos
O determinante é
. Assim a inversa é (fórmula da inversa de
):
Portanto
Resposta
(a)
e
.
(b) é bijetora.
(b)
(c)
(d) é isomorfismo e
.
(d)
(e)
]