Considere T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow R^{2} transformação linear com T(x, y)=(x+y, 2 x+y)
(a) Determine o núcleo e Imagem de T
(b) Determine se T é bijetora
(c) Determine a matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} onde B_{1}=\{(1,3),(2,5)\} e B_{2}=\{(1,0),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2}
(d) Verifique se T é isomorfismo de \mathbb{R}^{2} e encontre T^{-1}
(e) Determine \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x+y,\;2x+y).
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo e a imagem de T;
(b) dizer se T é bijetora;
(c) determinar a matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} onde B_{1}=\{(1,3),(2,5)\} e B_{2}=\{(1,0),(0,1)\};
(d) verificar se T é isomorfismo de \mathbb{R}^{2} e encontrar T^{-1};
(e) determinar \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de T (já escrita acima).
  • As bases B_{1} e B_{2} (onde B_{2} é a base canônica padrão).
  • Nada mais é fornecido; toda conta pode ser feita a partir daqui.

Passo 2

Vamos escrever T em termos de coordenadas na base canônica B_{2}=\{(1,0),(0,1)\}. Para isso aplicamos T aos vetores canônicos:
T(1,0)=(1+0,\;2\cdot1+0)=(1,2), \qquad T(0,1)=(0+1,\;2\cdot0+1)=(1,1).
Portanto, a matriz de T na base canônica (colunas são imagens dos vetores da base canônica) é
A=[T]_{B_{2}}^{B_{2}}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.
Isto é útil para calcular núcleo, imagem e inversa.]

Passo 3

Encontrando o núcleo \ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid T(x,y)=(0,0)\}\). Resolver o sistema \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] 2x+y=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos x=0\]. Então pela primeira equação \(y=0. Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Explicação didática: o núcleo contém apenas o vetor nulo, então T é injetora. Para achar núcleo em geral, resolve-se A(x,y)^{T}=0.]

Passo 4

Determinar a imagem \mathrm{Im}(T). As colunas da matriz A são vetores em \mathbb{R}^{2}:
v_1=T(1,0)=(1,2),\qquad v_2=T(0,1)=(1,1).
A imagem é o subespaço gerado por essas colunas:
\mathrm{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2),(1,1)\}.
Como os vetores (1,2) e (1,1) são linearmente independentes (verificável porque nenhuma constante não nula os escala um ao outro), eles formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Assim \dim(\mathrm{Im}(T))=2 e
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}.
Comentário prático: outra forma rápida é calcular \det(A)=1\cdot1-1\cdot2=-1\neq0, daí \operatorname{rank}(A)=2 e \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Resposta da parte (b) — bijetividade. Como \ker(T)=\{0\} (injecção) e \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2} (sobjectividade), a transformação T é bijetora. Em termos de matrizes, \det(A)=-1\neq0 garante que A é invertível, ou seja, T é um isomorfismo linear.

Passo 6

Parte (c): interpretar a notação [T]_{B_{2}}^{B_{1}}. Vou tomar a convenção natural: [T]_{B_{2}}^{B_{1}} é a matriz que transforma coordenadas do domínio expressas na base B_{1} em coordenadas da imagem expressas na base B_{2}. Assim as colunas dessa matriz são as coordenadas, na base B_{2}, das imagens dos vetores de B_{1}.
Calcular T nas vetores de B_{1}:
T(1,3)=(1+3,\;2\cdot1+3)=(4,5), \qquad T(2,5)=(2+5,\;2\cdot2+5)=(7,9).
Como B_{2} é a base canônica, as coordenadas de (4,5) e (7,9) em B_{2} são simplesmente os próprios pares. Portanto a matriz pedida tem colunas essas imagens:
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}= \begin{pmatrix} 4 & 7\\[4pt] 5 & 9 \end{pmatrix}.
(Dica prática: sempre aplicar T aos vetores da base do domínio e escrever o resultado nas coordenadas da base do contradomínio.)]

Passo 7

Parte (d): encontrar T^{-1}\). Usamos o sistema \[\begin{cases} u=x+y,\\[4pt] v=2x+y, \end{cases}
onde (u,v)=T(x,y)\]. Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos \(v-u=x. Logo
x=v-u.
Substituindo em u=x+y
y=u-x=u-(v-u)=2u-v.
Portanto
T^{-1}(u,v)=(v-u,\;2u-v).
Em forma matricial, a inversa de A é
A^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 \end{pmatrix},
pois
A^{-1}\begin{pmatrix}u\\[2pt] v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\[2pt] v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v-u\\[4pt] 2u-v\end{pmatrix}.]

Passo 8

Parte (e): determinar \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}. Pela mesma convenção que usamos antes, \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} é a matriz que leva coordenadas na base B_{2} (domínio) para coordenadas na base B_{1} (contradomínio). Observação prática: como [T]_{B_{2}}^{B_{1}} é a matriz que leva coordenadas [\cdot]_{B_{1}}\mapsto[\cdot]_{B_{2}}, então
\left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}=\big([T]_{B_{2}}^{B_{1}}\big)^{-1}.
Já calculamos
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}= \begin{pmatrix} 4 & 7\\[4pt] 5 & 9 \end{pmatrix}.
O determinante é \det=4\cdot9-7\cdot5=36-35=1. Assim a inversa é (fórmula da inversa de 2\times2):
\left([T]_{B_{2}}^{B_{1}}\right)^{-1}= \begin{pmatrix} 9 & -7\\[4pt] -5 & 4 \end{pmatrix}.
Portanto
\left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}= \begin{pmatrix} 9 & -7\\[4pt] -5 & 4 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \ker(T)=\{(0,0)\} \quad e \quad \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}.
(b) T é bijetora.
(c) [T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\displaystyle\begin{pmatrix}4 & 7\\[4pt]5 & 9\end{pmatrix}.
(d) T é isomorfismo e T^{-1}(u,v)=(v-u,\;2u-v).
(e) \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}=\displaystyle\begin{pmatrix}9 & -7\\[4pt]-5 & 4\end{pmatrix}.]

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