Considere T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow R^{2} transformação linear com T(x, y)=(2 y, 3 x-y)
(a) Determine o núcleo e Imagem de T
(b) Determine se T é bijetora
(c) Determine a matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} onde B_{1}=\{(1,3),(2,5)\} e B_{2}=\{(1,0),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2}
(d) Verifique se T é isomorfismo de \mathbb{R}^{2} e encontre T^{-1}
(e) Determine \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado (tudo que vou usar daqui em diante, sem resolver ainda).
A transformação linear é T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
ambas bases de \mathbb{R}^{2}. Note que B_{2} é a base canônica (padrão).
O enunciado pede:
(a) determinar o núcleo (\ker T) e a imagem (\operatorname{Im}T);
(b) decidir se T é bijetora;
(c) encontrar a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} (atenção à notação: subescrito = base do contradomínio, sobrescrito = base do domínio);
(d) verificar se T é um isomorfismo e encontrar T^{-1} explicitamente;
(e) determinar \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} (matriz de T^{-1} com contradomínio na base B_{1} e domínio na base B_{2}).
Passo 2
Definições e estratégia para (a): o núcleo de T é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero,
Para saber se este span é todo \mathbb{R}^2 (ou apenas uma reta), verifico se os dois vetores são linearmente independentes. Coloco-os como colunas de uma matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}
e calculo o determinante:
\det A=0\cdot(-1)-2\cdot 3=-6\neq 0.
Determinante não nulo implica as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2.
Didática: colunas independentes significam que qualquer vetor em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dessas colunas, então a imagem é todo \mathbb{R}^2.]
Passo 5
Responder (b): T é bijetora?
Injetividade: uma transformação linear é injetiva se e só se seu núcleo é somente o vetor zero. Como \ker T=\{(0,0)\}, T é injetiva.
Sobreatividade (surjetividade): como \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2, T é sobrejetiva.
Como T é injetiva e sobrejetiva, T é bijetora.
Comentário motivador: bijetora + linear = isomorfismo linear entre espaços.
Passo 6
Determinar a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} pedida em (c).
Interpretação da notação: \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} significa matriz que representa T com relação à base do domínio = B_{1} (sobrescrito) e base do contradomínio = B_{2} (subscrito). Então as colunas dessa matriz são as coordenadas de T aplicadas aos vetores de B_{1}, expressas na base B_{2}. Como B_{2} é a base canônica, as coordenadas são simplesmente as próprias imagens.
Calculo T nos vetores de B_{1}:
Para b_{1}^{(1)}=(1,3):
T(1,3)=(2\cdot 3,\;3\cdot 1-3)=(6,0).
Para b_{1}^{(2)}=(2,5):
T(2,5)=(2\cdot 5,\;3\cdot 2-5)=(10,1).
Como as coordenadas na base canônica são essas mesmas tuplas, a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} tem colunas (6,0) e (10,1):
Verificar (d) se T é isomorfismo e encontrar T^{-1} explicitamente.
Já mostrei T é bijetora (Passo 5) e linear, portanto T é um isomorfismo linear. Agora encontro a inversa resolvendo o sistema T(x,y)=(u,v) para (x,y) em função de (u,v).
Começo por escrever
u=2y, \qquad v=3x-y.
Da primeira equação y=\dfrac{u}{2}. Substituindo na segunda:
Uma checagem rápida (opcional, mas boa prática): a matriz de T na base canônica é A=\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]3&-1\end{pmatrix}. \det A=-6\neq0, então A é invertível e
que aplicada a \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} dá exatamente \bigl((2v+u)/6,\;u/2\bigr)^{T}, confirmando a fórmula encontrada.]
Passo 8
Calcular \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} pedido em (e).
Interpretação da notação: \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} significa a matriz de T^{-1} com contradomínio (base do espaço de chegada) = B_{1} (subscrito) e domínio (base do espaço de partida) = B_{2} (sobrescrito). Como B_{2} é a base canônica, as colunas dessa matriz são as coordenadas de T^{-1}(e_1) e T^{-1}(e_2) expressas na base B_{1}.