Considere T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow R^{2} transformação linear com T(x, y)=(2 y, 3 x-y)
(a) Determine o núcleo e Imagem de T
(b) Determine se T é bijetora
(c) Determine a matriz [T]_{B_{2}}^{B_{1}} onde B_{1}=\{(1,3),(2,5)\} e B_{2}=\{(1,0),(0,1)\} bases de \mathbb{R}^{2}
(d) Verifique se T é isomorfismo de \mathbb{R}^{2} e encontre T^{-1}
(e) Determine \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado (tudo que vou usar daqui em diante, sem resolver ainda).
  • A transformação linear é T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y)=(2y,\;3x-y).
  • As bases fornecidas são
B_{1}=\{(1,3),(2,5)\},\qquad B_{2}=\{(1,0),(0,1)\},
ambas bases de \mathbb{R}^{2}. Note que B_{2} é a base canônica (padrão).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar o núcleo ( \ker T) e a imagem ( \operatorname{Im}T);
    (b) decidir se T é bijetora;
    (c) encontrar a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} (atenção à notação: subescrito = base do contradomínio, sobrescrito = base do domínio);
    (d) verificar se T é um isomorfismo e encontrar T^{-1} explicitamente;
    (e) determinar \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} (matriz de T^{-1} com contradomínio na base B_{1} e domínio na base B_{2}).

Passo 2

Definições e estratégia para (a): o núcleo de T é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero,
\ker T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores T de uma base (ou por T aplicado aos vetores canônicos):
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{T(e_1),T(e_2)\},
onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Vou calcular T(e_1) e T(e_2), e resolver a equação T(x,y)=(0,0).

Passo 3

Calcular T nos vetores canônicos e resolver \ker T.
  • Primeiro T(1,0). Aplicando a fórmula:
T(1,0)=(2\cdot 0,\;3\cdot 1-0)=(0,3).
  • Depois T(0,1):
T(0,1)=(2\cdot 1,\;3\cdot 0-1)=(2,-1).
Agora para o núcleo, resolver T(x,y)=(0,0). Isso dá o sistema
2y=0, \qquad 3x-y=0.
Da primeira equação 2y=0 segue y=0. Substituindo na segunda, 3x-0=0 x=0. Logo
\ker T=\{(0,0)\}.
Explicação didática curta: o kernel sendo só o vetor zero significa que a única solução para T(x,y)=0 é o vetor nulo.

Passo 4

Determinar a imagem \operatorname{Im}T (continuação da estratégia do Passo 2).
Como já calculei T(1,0)=(0,3) e T(0,1)=(2,-1), a imagem é
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(0,3),(2,-1)\}.
Para saber se este span é todo \mathbb{R}^2 (ou apenas uma reta), verifico se os dois vetores são linearmente independentes. Coloco-os como colunas de uma matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}
e calculo o determinante:
\det A=0\cdot(-1)-2\cdot 3=-6\neq 0.
Determinante não nulo implica as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2.
Didática: colunas independentes significam que qualquer vetor em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dessas colunas, então a imagem é todo \mathbb{R}^2.]

Passo 5

Responder (b): T é bijetora?
  • Injetividade: uma transformação linear é injetiva se e só se seu núcleo é somente o vetor zero. Como \ker T=\{(0,0)\}, T é injetiva.
  • Sobreatividade (surjetividade): como \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2, T é sobrejetiva.
Como T é injetiva e sobrejetiva, T é bijetora.
Comentário motivador: bijetora + linear = isomorfismo linear entre espaços.

Passo 6

Determinar a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} pedida em (c).
Interpretação da notação: \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} significa matriz que representa T com relação à base do domínio = B_{1} (sobrescrito) e base do contradomínio = B_{2} (subscrito). Então as colunas dessa matriz são as coordenadas de T aplicadas aos vetores de B_{1}, expressas na base B_{2}. Como B_{2} é a base canônica, as coordenadas são simplesmente as próprias imagens.
Calculo T nos vetores de B_{1}:
  • Para b_{1}^{(1)}=(1,3):
T(1,3)=(2\cdot 3,\;3\cdot 1-3)=(6,0).
  • Para b_{1}^{(2)}=(2,5):
T(2,5)=(2\cdot 5,\;3\cdot 2-5)=(10,1).
Como as coordenadas na base canônica são essas mesmas tuplas, a matriz \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}} tem colunas (6,0) e (10,1):
\left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}}= \begin{pmatrix} 6 & 10\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar (d) se T é isomorfismo e encontrar T^{-1} explicitamente.
Já mostrei T é bijetora (Passo 5) e linear, portanto T é um isomorfismo linear. Agora encontro a inversa resolvendo o sistema T(x,y)=(u,v) para (x,y) em função de (u,v).
Começo por escrever
u=2y, \qquad v=3x-y.
Da primeira equação y=\dfrac{u}{2}. Substituindo na segunda:
v=3x-\frac{u}{2}\quad\Rightarrow\quad 3x=v+\frac{u}{2}.
Logo
x=\frac{v+\tfrac{u}{2}}{3}=\frac{2v+u}{6}.
Portanto a inversa T^{-1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é dada por
T^{-1}(u,v)=\left(\frac{2v+u}{6},\;\frac{u}{2}\right).
Uma checagem rápida (opcional, mas boa prática): a matriz de T na base canônica é A=\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]3&-1\end{pmatrix}. \det A=-6\neq0, então A é invertível e
A^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/6 & 1/3\\[4pt]1/2 & 0\end{pmatrix},
que aplicada a \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} dá exatamente \bigl((2v+u)/6,\;u/2\bigr)^{T}, confirmando a fórmula encontrada.]

Passo 8

Calcular \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} pedido em (e).
Interpretação da notação: \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} significa a matriz de T^{-1} com contradomínio (base do espaço de chegada) = B_{1} (subscrito) e domínio (base do espaço de partida) = B_{2} (sobrescrito). Como B_{2} é a base canônica, as colunas dessa matriz são as coordenadas de T^{-1}(e_1) e T^{-1}(e_2) expressas na base B_{1}.
Calculo T^{-1} nos vetores canônicos:
  • Para e_1=(1,0):
T^{-1}(1,0)=\left(\frac{2\cdot 0+1}{6},\;\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{6},\;\frac{1}{2}\right).
Quero coordenadas (\alpha,\beta) tais que
\alpha(1,3)+\beta(2,5)=\left(\frac{1}{6},\frac{1}{2}\right).
Isso dá o sistema
\alpha+2\beta=\frac{1}{6}, \qquad 3\alpha+5\beta=\frac{1}{2}.
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda:
(3\alpha+6\beta)-(3\alpha+5\beta)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\implies \beta=0.
Então \alpha=\dfrac{1}{6}. Assim as coordenadas de T^{-1}(1,0) em B_{1} são \begin{pmatrix}1/6\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para e_2=(0,1):
T^{-1}(0,1)=\left(\frac{2\cdot 1+0}{6},\;\frac{0}{2}\right)=\left(\frac{1}{3},\;0\right).
Procuro (\alpha,\beta) tais que
\alpha(1,3)+\beta(2,5)=\left(\frac{1}{3},0\right).
Sistema:
\alpha+2\beta=\frac{1}{3}, \qquad 3\alpha+5\beta=0.
Da primeira \alpha=\dfrac{1}{3}-2\beta. Substituindo:
3\left(\frac{1}{3}-2\beta\right)+5\beta=0 \implies 1-6\beta+5\beta=0 \implies 1-\beta=0 \implies \beta=1.
Então \alpha=\dfrac{1}{3}-2\cdot 1=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{3}. As coordenadas de T^{-1}(0,1) em B_{1} são \begin{pmatrix}-5/3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto a matriz \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}} (colunas = essas coordenadas) é
\left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{6} & -\dfrac{5}{3}\\[8pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \ker T=\{(0,0)\}.
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2 (isto é, \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(0,3),(2,-1)\}=\mathbb{R}^2).
(b) Sim, T é bijetora.
(c) \displaystyle \left[T\right]_{B_{2}}^{B_{1}}=\begin{pmatrix}6 & 10\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
(d) Sim, T é isomorfismo. \displaystyle T^{-1}(u,v)=\left(\frac{2v+u}{6},\;\frac{u}{2}\right).
(e) \displaystyle \left[T^{-1}\right]_{B_{1}}^{B_{2}}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{6} & -\tfrac{5}{3}\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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