Considere T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow R^{3} transformação linear com T(x, y, z)=(2 x+z,-3 y+z,-3 z)
(a) Determine o núcleo e Imagem de T
(b) Determine se T é bijetora
(c) Determine as matrizes [T]_{B_{2}}^{B_{1}} e [T]_{B_{1}}^{B_{2}} onde B_{1}=\{(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3)\} e B_{2}=\{(1,0,0),(0,1,0), bases de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • A transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(2x+z,\;-3y+z,\;-3z).
  • A base B_{1}=\{(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3)\} de \mathbb{R}^{3}.
  • A base indicada B_{2}=\{(1,0,0),(0,1,0)\}, que aparece com somente dois vetores (note que uma base de \mathbb{R}^3 precisa de três vetores).
O enunciado pede:
(a) Determinar o núcleo e a imagem de T.
(b) Dizer se T é bijetora.
(c) Determinar as matrizes [T]_{B_{2}}^{B_{1}} e [T]_{B_{1}}^{B_{2}}.
Observação importante (para o item (c)): não é possível formar matrizes de representação entre bases de \mathbb{R}^3 se uma das “bases” não tem 3 vetores. O conjunto B_{2} fornecido tem apenas dois vetores, portanto está incompleto. Por isso, não é possível calcular numericamente [T]_{B_{2}}^{B_{1}} nem [T]_{B_{1}}^{B_{2}} sem o terceiro vetor de B_{2}. Vou, entretanto, explicar passo a passo como se calcula tais matrizes e calcular representações úteis envolvendo B_{1} e a base canônica, para você entender o método.

Passo 2

Representação matricial padrão (base canônica). Primeiro, expliquei de forma direta como obter a matriz de T na base canônica E=\{e_1,e_2,e_3\}, pois isso facilita tudo depois. Método: aplique T aos vetores da base canônica e coloque os resultados como colunas.
  • e_{1}=(1,0,0). Então
T(e_{1})=T(1,0,0)=(2\cdot1+0,\,-3\cdot0+0,\,-3\cdot0)=(2,0,0).
  • e_{2}=(0,1,0). Então
T(e_{2})=T(0,1,0)=(2\cdot0+0,\,-3\cdot1+0,\,-3\cdot0)=(0,-3,0).
  • e_{3}=(0,0,1). Então
T(e_{3})=T(0,0,1)=(2\cdot0+1,\,-3\cdot0+1,\,-3\cdot1)=(1,1,-3).
A matriz de T na base canônica E (colunas = T(e_i)) é
A=[T]_{E}^{E}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Explicação didática curta: cada coluna corresponde à imagem do vetor da base canônica; com isso, para qualquer vetor v com coordenadas padrão [v]_E, T(v) em coordenadas padrão é A\,[v]_E.]

Passo 3

Cálculo do núcleo de [T). Teoria curta: o núcleo \ker(T) é o conjunto de vetores v tais que T(v)=0. Em coordenadas padrão isso é resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações (a partir de A):
\begin{cases} 2x+z=0,\\[4pt] -3y+z=0,\\[4pt] -3z=0. \end{cases}
Da terceira equação vem \,z=0\]. Substituindo em cima: - \(2x+0=0\Rightarrow x=0.
- -3y+0=0\Rightarrow y=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Assim
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Didática: isso mostra que T é injetora (se o núcleo tem só o vetor nulo, o operador é injetivo). Na prova, ao pedirem núcleo, montar as equações e resolver é o caminho direto.]

Passo 4

Cálculo da imagem de T. Teoria curta: a imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A (ou seja, span das imagens dos vetores da base canônica).
As colunas de A são
c_{1}=(2,0,0),\quad c_{2}=(0,-3,0),\quad c_{3}=(1,1,-3).
Para saber se geram todo \mathbb{R}^{3} verificamos se são linearmente independentes (ou o posto da matriz). Uma forma rápida: calcular o determinante de A. Note que A é triangular superior (zeros abaixo da diagonal), então
\det(A)=2\cdot(-3)\cdot(-3)=18\neq 0.
Determinante não nulo implica colunas linearmente independentes e posto =3. Assim
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
Didática: se a imagem tem dimensão 3 em \mathbb{R}^3, é todo o espaço. Para checar posto na prova, use eliminação ou determinante quando a matriz for quadrada.

Passo 5

Conclusão sobre bijetividade. Teoria curta: para operadores lineares em espaços de mesma dimensão finita, T é bijetora (injetora e sobrejetora) se e somente se a matriz em relação à base canônica tem determinante não nulo, ou equivalentemente se \ker(T)=\{0\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Já encontramos \ker(T)=\{0\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, e \det(A)=18\neq0. Portanto:
  • T é injetora e sobrejetora.
  • Conclusão: T é bijetora.
Na prova, dizer “determinante não nulo” é uma justificativa curta e convincente.

Passo 6

Como se calcularia [T]_{B_{2}}^{B_{1}} e [T]_{B_{1}}^{B_{2}} em geral (metodologia), e por que não posso dar os valores numéricos pedidos.
Método prático (fórmula útil em provas):
  • Seja P_{B} a matriz cujas colunas são os vetores da base B escritos nas coordenadas canônicas. Então, para a matriz A=[T]_{E}^{E} dada acima,
[T]_{B_{2}}^{B_{1}} = P_{B_{1}}^{-1}\,A\,P_{B_{2}}.
Interpretação: primeiro transforma coordenadas em B_{2} para coordenadas canônicas (multiplicando por P_{B_{2}}), aplica A, depois expressa o resultado nas coordenadas de B_{1} (multiplicando por P_{B_{1}}^{-1}).
Para [T]_{B_{1}}^{B_{2}} a fórmula é análoga:
[T]_{B_{1}}^{B_{2}} = P_{B_{2}}^{-1}\,A\,P_{B_{1}}.
Por que não posso fornecer [T]_{B_{2}}^{B_{1}} e [T]_{B_{1}}^{B_{2}} numericamente: falta o terceiro vetor de B_{2}. Sem os três vetores que formam B_{2} não há como construir P_{B_{2}} nem P_{B_{2}}^{-1}, logo as fórmulas acima não podem ser avaliadas. Assim, numericamente não é possível completar o item (c) com os dados fornecidos.

Passo 7

Cálculo extra útil (opcional para a sua compreensão): matriz de T que parte das coordenadas em B_{1} e dá coordenadas canônicas, e também a matriz que dá coordenadas de T(e_i) na base B_{1}. Isso mostra como se faz o processo quando as bases estão completas.
Formo P_{B_{1}} com as colunas sendo os vetores de B_{1} (peguei esses vetores do enunciado):
P_{B_{1}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Já calculamos A. As colunas de A P_{B_{1}} são T aplicada aos vetores de B_{1}, escritas em coordenadas canônicas. Calculando coluna a coluna (usei T nos vetores de B_{1} fornecidos):
  • T(1,2,0)=(2,-6,0).
  • T(1,3,2)=(4,-7,-6).
  • T(0,1,3)=(3,0,-9).
Logo
A\,P_{B_{1}}= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\[4pt] -6 & -7 & 0\\[4pt] 0 & -6 & -9 \end{pmatrix},
que é a matriz que transforma coordenadas em B_{1} (quando multiplicada por um vetor de coordenadas em B_{1}) no vetor de coordenadas canônicas de T(v).
Também calculei P_{B_{1}}^{-1} (útil para expressar coordenadas em B_{1}):
P_{B_{1}}^{-1}= \begin{pmatrix} 7 & -3 & 1\\[4pt] -6 & 3 & -1\\[4pt] 4 & -2 & 1 \end{pmatrix},
porque \det(P_{B_{1}})=1 (isso facilita muito o cálculo manual). Com isso, a matriz cujas colunas são as coordenadas em B_{1} das imagens T(e_i) é
P_{B_{1}}^{-1}\,A= \begin{pmatrix} 14 & 9 & 1\\[4pt] -12 & -9 & 0\\[4pt] 8 & 6 & -1 \end{pmatrix},
ou seja, a primeira coluna é [T(e_1)]_{B_{1}}, a segunda [T(e_2)]_{B_{1}} e a terceira [T(e_3)]_{B_{1}}. Isto ilustra exatamente como se monta [T]_{B_{2}}^{B_{1}} quando P_{B_{2}} está conhecida: apenas substituir P_{B_{2}} na fórmula do Passo 6.]

Resposta

(a) \ker(T)=\{(0,0,0)\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
(b) Sim. T é bijetora (injetora e sobrejetora), pois \det([T]_{E}^{E})=18\neq0.
(c) Não é possível determinar [T]_{B_{2}}^{B_{1}} nem [T]_{B_{1}}^{B_{2}} porque B_{2} está incompleta: foram fornecidos apenas dois vetores e uma base de \mathbb{R}^{3} precisa de três vetores.

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