Considere T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow R^{4} transformação linear com T(x, y, z, w)=(2 x+z, 2 y+w, 12 x+z,-y)
(a) Determine o polinômio característico, os autovalores e autovetores de T
(b) T é diagonalizv́el? Justifique sua resposta
(c) Se T for diagonalizável determine uma base de \mathbb{R}^{4} onde a matriz de T é diagonal e a matriz diagonal de T

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y,z,w)=(2x+z,\;2y+w,\;12x+z,\;-y).
As perguntas pedem:
(a) determinar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de T;
(b) dizer se T é diagonalizável, justificando;
(c) se T for diagonalizável, determinar uma base de \mathbb{R}^4 em que a matriz de T seja diagonal e fornecer essa matriz diagonal.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T que fornece as coordenadas da imagem de (x,y,z,w).
  • Queremos trabalhar no espaço \mathbb{R}^{4} com a base canônica a menos que se peça outra.

Passo 2

Primeiro passo prático: obter a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\}, onde e_1=(1,0,0,0), e_2=(0,1,0,0), e_3=(0,0,1,0), e_4=(0,0,0,1).
Calcular T(e_i):
  • T(e_1)=T(1,0,0,0)=(2,0,12,0).
  • T(e_2)=T(0,1,0,0)=(0,2,0,-1).
  • T(e_3)=T(0,0,1,0)=(1,0,1,0).
  • T(e_4)=T(0,0,0,1)=(0,1,0,0).
Logo a matriz A de T na base canônica tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4):
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 12 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicar o que é o polinômio característico e como vamos calculá-lo: o polinômio característico de T é p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I). Zerar esse determinante dá os autovalores (raízes de p_T). Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Observação sobre a estrutura da matriz A-\lambda I: percebendo a matriz, as linhas 1 e 3 só têm entradas nas colunas 1 e 3, enquanto as linhas 2 e 4 só têm entradas nas colunas 2 e 4. Isso separa o problema em dois blocos independentes 2\times2. Assim
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 2-\lambda & 0 & 1\\[3pt] 12 & 0 & 1-\lambda & 0\\[3pt] 0 & -1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix},
que é essencialmente um bloco diagonal (quando agrupamos as colunas e linhas por (1,3) e (2,4)). Portanto
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[3pt]12 & 1-\lambda\end{pmatrix}\cdot \det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[3pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Vou calcular cada determinante 2\times2 separadamente.]

Passo 4

Calcular o primeiro determinante (bloco das variáveis x e z):
\det(M)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[3pt]12 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda)-12\cdot 1.
Expandindo:
(2-\lambda)(1-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^{2},
então
\det(M)=\lambda^{2}-3\lambda+2-12=\lambda^{2}-3\lambda-10.
Fatorando esse quadrático:
\lambda^{2}-3\lambda-10=(\lambda-5)(\lambda+2),
pois 5 e -2 são raízes.]

Passo 5

Calcular o segundo determinante (bloco das variáveis y e w):
\det(N)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[3pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-\lambda)-1\cdot(-1).
Expandindo:
(2-\lambda)(-\lambda)=-2\lambda+\lambda^{2},
logo
\det(N)=\lambda^{2}-2\lambda+1=(\lambda-1)^{2}.]

Passo 6

Juntando os dois blocos:
p_T(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\big(\lambda^{2}-3\lambda-10\big)\big(\lambda^{2}-2\lambda+1\big).
Fatorando completamente:
p_T(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+2)(\lambda-1)^{2}.
Portanto os autovalores e suas multiplicidades algébricas são:
  • \lambda=5, multiplicidade algébrica 1.
  • \lambda=-2, multiplicidade algébrica 1.
  • \lambda=1, multiplicidade algébrica 2.

Passo 7

Agora vamos encontrar os autovetores resolvendo [(A-\lambda I)v=0). Usamos a separação em blocos (variáveis (x,z) e (y,w)).
Das equações de A-\lambda I para as componentes (x,z) obtemos o sistema
\begin{cases} (2-\lambda)x+z=0,\\[3pt] 12x+(1-\lambda)z=0, \end{cases}
e para ((y,w)] obtemos
\begin{cases} (2-\lambda)y+w=0,\\[3pt] -y-\lambda w=0. \end{cases}
Vou resolver para cada autovalor.]

Passo 8

Autovalor \lambda=5.
No bloco (x,z):
(2-5)x+z=-3x+z=0\quad\Rightarrow\quad z=3x.
A segunda equação é 12x+(1-5)z=12x-4z=0. Substituindo z=3x obtemos 12x-4(3x)=0, que é verdadeira para todo x. Logo o espaço próprio relativo a esse bloco é gerado por (x,z)=(1,3).
No bloco (y,w):
(2-5)y+w=-3y+w=0\quad\Rightarrow\quad w=3y,
e a segunda equação é -y-5w=0. Substituindo w=3y -y-15y=-16y=0, logo y=0 e assim w=0.
Conclusão: autovetores associados a \lambda=5 têm a forma
v=t(1,0,3,0),\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 9

Autovalor \lambda=-2.
No bloco (x,z):
(2-(-2))x+z=4x+z=0\quad\Rightarrow\quad z=-4x.
A segunda equação 12x+(1-(-2))z=12x+3z=0 é satisfeita ao substituir z=-4x (porque 12x+3(-4x)=0). Logo o bloco (x,z) gera autovetores (1, -4).
No bloco (y,w):
(2-(-2))y+w=4y+w=0\quad\Rightarrow\quad w=-4y,
e a segunda equação é -y-(-2)w=-y+2w=0. Substituindo w=-4y -y+2(-4y)=-9y=0, implicando y=0 e w=0.
Conclusão: autovetores associados a \lambda=-2 têm a forma
v=t(1,0,-4,0),\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 10

Autovalor \lambda=1.
No bloco (x,z):
(2-1)x+z=x+z=0\quad\Rightarrow\quad z=-x,
e a segunda equação é 12x+(1-1)z=12x+0=0\Rightarrow 12x=0, logo x=0 e portanto z=0. Assim o bloco (x,z) não fornece vetores não-nulos para \lambda=1.
No bloco (y,w):
(2-1)y+w=y+w=0\quad\Rightarrow\quad w=-y,
e a segunda equação é -y-1\cdot w=-y-w=0, que é compatível com w=-y. Logo o espaço próprio relativo a esse bloco é gerado por (y,w)=(1,-1).
Conclusão: autovetores associados a \lambda=1 têm a forma
v=t(0,1,0,-1),\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Note que embora \lambda=1 tenha multiplicidade algébrica 2, seu espaço próprio tem dimensão 1 (apenas um gerador independente).

Passo 11

Critério de diagonalizabilidade usado: uma transformação linear em \mathbb{R}^n é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos espaços próprios (as multiplicidades geométricas) for n; equivalentemente, para cada autovalor a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica.
Aqui temos:
  • Para \lambda=5: multiplicidade algébrica 1, dimensão do espaço próprio 1.
  • Para \lambda=-2: multiplicidade algébrica 1, dimensão do espaço próprio 1.
  • Para \lambda=1: multiplicidade algébrica 2, dimensão do espaço próprio 1.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+1+1=3<4, a transformação T não é diagonalizável.

Passo 12

Resposta à parte (c): o enunciado pede que, se T for diagonalizável, se determine uma base tal que a matriz seja diagonal e essa matriz diagonal. Como demonstramos que T não é diagonalizável (multiplicidade geométrica de \lambda=1 menor que a algébrica), não existe base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores que diagonalize T. Portanto não é possível fornecer a base e a matriz diagonal pedidas.
Força aí — já resolvemos tudo passo a passo: característico, autovalores, autovetores e a conclusão sobre diagonalizabilidade. Se quiser, posso agora construir a forma de Jordan de A (que é o substituto natural quando não é diagonalizável) e mostrar a cadeia generalizada para \lambda=1.

Resposta

(a) \;p_T(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+2)(\lambda-1)^{2}.
Autovalores: \lambda=5 (alg. mult. 1), \lambda=-2 (alg. mult. 1), \lambda=1 (alg. mult. 2).
Autovetores (espaços próprios): para \lambda=5 todos os múltiplos de (1,0,3,0); para \lambda=-2 todos os múltiplos de (1,0,-4,0); para \lambda=1 todos os múltiplos de (0,1,0,-1).
(b) Não. A multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 enquanto sua multiplicidade algébrica é 2; portanto T não é diagonalizável.
(c) Não existe: como T não é diagonalizável, não há base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores que torne a matriz de T diagonal.

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