Considere definida por .
a) Verifique que é linear.
b) Encontre uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de .
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é transformação linear em . Vamos primeiro verificar que preserva soma e multiplicação por escalar (parte a), depois obter e e suas dimensões (parte b).
Passo 2
Verificamos aditividade. Sejam e em . Então
que se separa em
Passo 3
Verificamos homogeneidade. Para escalar ,
Logo é linear.
Passo 4
Para achar
Multiplicando a primeira por e somando, obtemos
e então da primeira equação dá . Logo
e a única base é o conjunto vazio.
Passo 5
A matriz de na base canônica é
cujo determinante é cos^2theta+sin^2theta=1neq0. Isso mostra que rankT=2, então
dimImT = 2
e uma base de ImT é formada pelas colunas dessa matriz, isto é,
l(costheta,-sintheta),;(sintheta,costheta)r
Resposta
Parte a) T é linear (preserva soma e produto por escalar).
Parte b) ker T=(0,0), dimker T=0, base do núcleo = emptyset. ImT= R^2, dimImT=2, base da imagem = (costheta,-sintheta),,(sintheta,costheta).