Considere T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x cos theta+y sen theta, y cos theta-x sen theta).
a) Verifique que T é linear.
b) Encontre uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^2to R^2, T(x,y)=l(xcostheta+ysintheta,;ycostheta - xsinthetar)
O conteúdo é transformação linear em R^2. Vamos primeiro verificar que T preserva soma e multiplicação por escalar (parte a), depois obter ker T e ImT e suas dimensões (parte b).

Passo 2

Verificamos aditividade. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =T(x1+x2,;y1+y2)
=l((x1+x2)costheta+(y1+y2)sintheta,;(y1+y2)costheta-(x1+x2)sinthetar)
que se separa em
(x1costheta+y1sintheta,;y1costheta-x1sintheta) + (x2costheta+y2sintheta,;y2costheta-x2sintheta)
= T(x1,y1)+T(x2,y2)

Passo 3

Verificamos homogeneidade. Para escalar lambdain R,
Tl(lambda(x,y)r) =T(lambda x,lambda y) =l(lambda xcostheta+lambda ysintheta,;lambda ycostheta-lambda xsinthetar)
=lambdal(xcostheta+ysintheta,;ycostheta-xsinthetar) =lambda,T(x,y)
Logo T é linear.

Passo 4

Para achar
Multiplicando a primeira por e somando, obtemos
e então da primeira equação . Logo
e a única base é o conjunto vazio.

Passo 5

A matriz de T na base canônica é
costheta & sintheta -sintheta & costheta
cujo determinante é cos^2theta+sin^2theta=1neq0. Isso mostra que rankT=2, então
dimImT = 2
e uma base de ImT é formada pelas colunas dessa matriz, isto é,
l(costheta,-sintheta),;(sintheta,costheta)r

Resposta

Parte a) T é linear (preserva soma e produto por escalar).
Parte b)
ker T=(0,0), dimker T=0, base do núcleo = emptyset.
ImT= R^2, dimImT=2, base da imagem = (costheta,-sintheta),,(sintheta,costheta).

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