Seja
o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma
, onde
e
são números racionais. Mostre que
é um corpo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
é um corpo, ou seja, que sob adição e multiplicação ele satisfaz os axiomas de corpo: existência de neutros, inversos e fechamento.
Passo 2
Mostramos que
contém os elementos neutros:
O neutro aditivo é
O neutro aditivo é
pois
.
O neutro multiplicativo é
O neutro multiplicativo é
pois
.
Passo 3
Verificação do fechamento em relação à adição e existência de inverso aditivo:
Seja e
em
. Então
Seja
e como
e
são racionais, segue
.
O inverso aditivo de é
O inverso aditivo de
pois
.
Passo 4
Verificação do fechamento em relação à multiplicação e existência de inverso multiplicativo:
Para os mesmos e
,
Para os mesmos
Como
e
são racionais, temos
.
Para o inverso multiplicativo, seja . Se
, então
Para o inverso multiplicativo, seja
implicaria
, contradizendo
e
.
Logo e podemos definir
Logo
cujos coeficientes são racionais. Portanto
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todos os axiomas de corpo, logo
é um corpo.