Seja K o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma a+b raiz2, onde a e b são números racionais. Mostre que K é um corpo.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
K = ,a + braiz2 mid a,binQ
e pede para mostrar que K é um corpo, ou seja, que sob adição e multiplicação ele satisfaz os axiomas de corpo: existência de neutros, inversos e fechamento.

Passo 2

Mostramos que K contém os elementos neutros:
O neutro aditivo é
0 = 0 + 0raiz2in K,
pois 0,0inQ.
O neutro multiplicativo é
1 = 1 + 0raiz2in K,
pois 1,0inQ.

Passo 3

Verificação do fechamento em relação à adição e existência de inverso aditivo:
Seja x=a1 + b1raiz2 e y=a2 + b2raiz2 em K. Então
x+y = (a1 + a2) + (b1 + b2)raiz2,
e como a1+a2 e b1+b2 são racionais, segue x+yin K.
O inverso aditivo de x é
-,x = (-a1) + (-b1)raiz2in K,
pois -a1,-b1inQ.

Passo 4

Verificação do fechamento em relação à multiplicação e existência de inverso multiplicativo:
Para os mesmos x e y,
xcdot y = (a1 + b1raiz2)(a2 + b2raiz2) = (a1a2 + 2b1b2) + (a1b2 + a2b1)raiz2
Como a1a2 + 2b1b2 e a1b2 + a2b1 são racionais, temos xyin K.
Para o inverso multiplicativo, seja x=a+braiz2neq0. Se a^2-2b^2=0, então
a^2 = 2b^2
implicaria tfracab=pmraiz2, contradizendo tfracabinQ e raiz2notinQ.
Logo a^2-2b^2neq0 e podemos definir
x^-1 = a - braiz2a^2 - 2b^2 = aa^2-2b^2 ;+; -ba^2-2b^2,raiz2,
cujos coeficientes são racionais. Portanto x^-1in K.

Resposta

O conjunto K satisfaz todos os axiomas de corpo, logo K é um corpo.

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