Exercício 8. (D.K. ex. 14.23) Prove que toda distribuição temperada é de ordem finita.
Passo 1
O enunciado diz que é uma distribuição temperada em , ou seja,
é um funcional linear contínuo na topologia de Schwartz. A topologia de é gerada pelas seminormas
onde alpha,beta são multi-índices.
Queremos mostrar que existe um inteiro N e uma constante C tais que, para todo varphiin S,
l|T(varphi)r| <= C;suplvertalpharvert+lvertbetarvert<= N supxin R^nl|x^alpha D^betavarphi(x)r|
Isto prova que T é de ordem finita.
Passo 2
Como T é contínuo em S, existe um entorno de 0 em S onde T é limitado. Pela definição de ambiente em espaço de Fréchet, há um número finito de pares (alphai,betai)i=1^k e varepsilon>0 tais que
é um entorno de 0. Como T é contínuo, existe M>0 tal que
lvert T(psi)rvert<= M para todo (psiin U)
Passo 3
Dado varphiin S arbitrário, seja
m=max1<= i<= kpalphai,betai(varphi)
Se m=0 então varphi=0 e T(varphi)=0, logo a desigualdade que queremos vale trivialmente. Se m>0, definimos psi=varphi/m. Então palphai,betai(psi)=palphai,betai(varphi)/m<=1<= varepsilon, de modo que psiin U e portanto