Exercício 8. (D.K. ex. 14.23) Prove que toda distribuição temperada é de ordem finita.

Passo 1

O enunciado diz que T é uma distribuição temperada em R^n, ou seja,
Tcolon S( R^n)to C
é um funcional linear contínuo na topologia de Schwartz. A topologia de S é gerada pelas seminormas
palpha,beta(varphi) =supxin R^nl|x^alpha D^betavarphi(x)r|,
onde alpha,beta são multi-índices.
Queremos mostrar que existe um inteiro N e uma constante C tais que, para todo varphiin S,
l|T(varphi)r| <= C;suplvertalpharvert+lvertbetarvert<= N supxin R^nl|x^alpha D^betavarphi(x)r|
Isto prova que T é de ordem finita.

Passo 2

Como T é contínuo em S, existe um entorno de 0 em S onde T é limitado. Pela definição de ambiente em espaço de Fréchet, há um número finito de pares (alphai,betai)i=1^k e varepsilon>0 tais que
U=lvarphiin S: palphai,betai(varphi)<varepsilon forall,i=1,dots,kr
é um entorno de 0. Como T é contínuo, existe M>0 tal que
lvert T(psi)rvert<= M para todo (psiin U)

Passo 3

Dado varphiin S arbitrário, seja
m=max1<= i<= kpalphai,betai(varphi)
Se m=0 então varphi=0 e T(varphi)=0, logo a desigualdade que queremos vale trivialmente. Se m>0, definimos
psi=varphi/m. Então palphai,betai(psi)=palphai,betai(varphi)/m<=1<= varepsilon, de modo que psiin U e portanto
l|T(psi)r|<= M
Pela linearidade de T segue
l|T(varphi)r| =l|T(m,psi)r| =m,l|T(psi)r| <= m,M = M;max1<= i<= kpalphai,betai(varphi)

Passo 4

Defina
N=max1<= i<= kl(lvertalphairvert+lvertbetairvertr)
Então, para cada i, temos
palphai,betai(varphi) <= suplvertalpharvert+lvertbetarvert<= N palpha,beta(varphi)
Logo
l|T(varphi)r| <= M;max1<= i<= kpalphai,betai(varphi) <= M;suplvertalpharvert+lvertbetarvert<= N palpha,beta(varphi)
Isto mostra que T é de ordem finita, com ordem no máximo N e constante C=M.

Resposta

Todo funcional temperado T satisfaz
l|T(varphi)r| <= C;suplvertalpharvert+lvertbetarvert<= N supxin R^nl|x^alpha D^betavarphi(x)r|,
ou seja, é de ordem finita.

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