Exercício 5. (Folland cap. 7.2 ex. 2) Seja phi: R C dada por phi(x)=e^-a|x|. Mostre que F(phi)(xi)=2 axi^2+a^2. Usando a fórmula da inversão e este resultado, mostre que F(1x^2+a^2)=pia e^-a|xi|.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas usando a convenção
F(f)(xi)=integral-infty^inftyf(x)e^-i xxi,dx,
com inversão
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(f)(xi)e^i xxi,dxi
Primeiro vamos calcular F(phi) para phi(x)=e^-a|x| (com a>0). Depois, usando a fórmula de inversão aplicada a phi, extraímos Fl(1/(x^2+a^2)r).

Passo 2

Calcular
F(phi)(xi) =integral-infty^inftye^-a|x|e^-i xxi,dx
Como a função é par separamos em x<0 e x>0:
integral-infty^0e^a xe^-i xxi,dx +integral0^inftye^-a xe^-i xxi,dx
No primeiro trocamos xto -t, fica
integral0^inftye^-a te^i txi,dt e no segundo integral0^inftye^-a te^-i txi,dt
Cada integral é do tipo integral0^inftye^-(apm ixi)tdt=1/(apm ixi). Logo
F(phi)(xi) =1a-ixi+1a+ixi =(a+ixi)+(a-ixi)a^2+xi^2 =2axi^2+a^2

Passo 3

Agora aplicamos a inversão a phi. Como
phi(x)=e^-a|x| =12piintegral-infty^inftyF(phi)(xi)e^i xxi,dxi =12piintegral-infty^infty2axi^2+a^2,e^i xxi,dxi,
podemos reescrever
integral-infty^infty1xi^2+a^2,e^i xxi,dxi =pia,e^-a|x|

Passo 4

A transformada de f(t)=1/(t^2+a^2) é
Fl(fr)(xi) =integral-infty^infty1t^2+a^2,e^-i txi,dt
Mas o integrando é par em t, logo trocar o sinal no expoente não altera o valor:
Fl(fr)(xi) =integral-infty^infty1t^2+a^2,e^i txi,dt =pia,e^-a|xi|

Resposta

Fl(e^-a|x|r)(xi)=2axi^2+a^2, F!l(1x^2+a^2r)(xi)=pia,e^-a|xi|

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