Exercício 5. (Folland cap. 7.2 ex. 2) Seja
dada por
. Mostre que
. Usando a fórmula da inversão e este resultado, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas usando a convenção
com inversão
Primeiro vamos calcular
para
(com
). Depois, usando a fórmula de inversão aplicada a
, extraímos
.
Passo 2
Calcular
Como a função é par separamos em
e
:
No primeiro trocamos
, fica
Cada integral é do tipo
. Logo
Passo 3
Agora aplicamos a inversão a
. Como
podemos reescrever
Passo 4
A transformada de
é
Mas o integrando é par em
, logo trocar o sinal no expoente não altera o valor: