Considere T \sim t_{10}.
Calcule:
o valor crítico t_{0,975}

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória T com distribuição de Student t com 10 graus de liberdade:
T \sim t_{10}.
Pede para calcular o valor crítico t_{0,975}. Ou seja, precisamos encontrar o número t_{0,975} tal que a probabilidade acumulada até esse ponto seja 0,975.

Passo 2

Definição clara do que se busca. Por definição do quantil,
\Pr\bigl(T \le t_{0,975}\bigr)=0,975.
Equivalente dizer que a área à direita de t_{0,975} é 0,025:
\Pr\bigl(T>t_{0,975}\bigr)=0,025.

Passo 3

Uso da simetria da distribuição t. A distribuição t é simétrica em torno de 0, portanto o quantil positivo correspondente a área à direita 0,025 é o mesmo em módulo do quantil negativo com área à esquerda 0,025. Em símbolos:
t_{0,975} = -\,t_{0,025},
onde t_{0,025} é o quantil tal que \Pr(T\le t_{0,025})=0,025. Mas, na prática, buscamos o valor positivo que tem 0,025 de probabilidade na cauda direita.

Passo 4

Como encontrar o valor numérico na prática:
  • Usando uma tabela t: procurar a linha com \text{df}=10 e a coluna correspondente a área de cauda direita igual a 0,025 (ou coluna de (1-\alpha/2)=0,975, dependendo da tabela). A entrada típica nessa posição é o valor aproximado 2{,}228.
  • Usando software/funcão inversa da CDF:
    • Em R: \texttt{qt(0.975, 10)}.
    • Em Python (scipy): \texttt{scipy.stats.t.ppf(0.975, 10)}.

Passo 5

Valor numérico com maior precisão (obtido por função inversa):
t_{0,975}\approx 2{,}228139.
Para a maioria das aplicações e tabelas de prova, é comum arredondar para \,2{,}228.

Resposta

\,2{,}228139

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