Considere X \sim N(100,10).
Calcule:
o valor x tal que P(X \leq x)=0,95

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • O enunciado pede: encontrar o valor x tal que P(X \leq x)=0,95.
  • O enunciado dá a distribuição: X \sim N(100,10).
Observação importante (assunção): aqui vou adotar a convenção padrão N(\mu,\sigma^{2}). Assim:
  • a média é \mu=100,
  • a variância é \sigma^{2}=10,
  • o desvio padrão é \sigma=\sqrt{10}.

Passo 2

Ideia geral do método (explicação didática do que vamos usar):
Para uma variável normal X\sim N(\mu,\sigma^{2}) podemos transformar para a normal padrão Z\sim N(0,1) usando a padronização. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa transformação significa que P(X\le x)=P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right). Para achar x tal que P(X\le x)=0,95 basta achar o quantil z da normal padrão tal que P(Z\le z)=0,95 e então despadronizar por
x=\mu+\sigma z.
Explicando as variáveis:
  • \mu é a média de X (valor central),
  • \sigma é o desvio padrão de X,
  • z é o 95º percentil da normal padrão (número tal que P(Z\le z)=0,95).

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma a partir da variância dada:
Temos \sigma^{2}=10. Então
\sigma=\sqrt{10}.
Uma boa aproximação numérica é
\sigma=\sqrt{10}\approx 3,162277660.
(Arredondei para os dígitos necessários para a conta; em prova normalmente usar tabela/ calculadora para essa raiz.)

Passo 4

Encontrar o quantil z tal que P(Z\le z)=0,95 para Z\sim N(0,1):
Esse é um valor padrão que se obtém em tabela da normal padrão ou calculadora estatística. O valor comumente usado é
z_{0,95}\approx 1,644853626.
Na prática de prova, pode-se usar a aproximação z_{0,95}\approx 1,645 (tabelas costumam dar 1,64 ou 1,65 com casas decimais). Vou usar o valor mais preciso indicado acima para melhorar a resposta final.

Passo 5

Calcular o produto \sigma z (mostrando as contas passo a passo, para fazer no caderno sem pular etapas):
Temos \sigma\approx 3,162277660 e z\approx 1,644853626. Multiplicando:
\sigma z \approx 3,162277660 \times 1,644853626.
Fazendo a multiplicação em partes (para entender a operação):
3,162277660\times 1,644853626 =3,162277660\times(1+0,644853626)
=3,162277660 + 3,162277660\times 0,644853626.
Calculando a segunda parcela com aproximação controlada:
3,162277660\times 0,644853626 \approx 2,039206212
portanto
\sigma z \approx 3,162277660 + 2,039206212 = 5,201483872.
(Se usar z\approx 1,645 e \sigma\approx 3,1623 obtém-se praticamente o mesmo: 3,1623\times1,645\approx 5,202.)

Passo 6

Despadronizar para obter x:
Usando \mu=100 e o valor de \sigma z calculado:
x=\mu+\sigma z \approx 100 + 5,201483872 = 105,201483872.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (forma comum em provas):
x\approx 105,20.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova:
  • O valor x\approx 105,20 é tal que 95\% da massa da distribuição N(100,10) fica à esquerda de x.
  • Em prova: memorize ou tenha à mão a tabela da normal padrão; para 0,95 use z\approx 1,645. Calcule \sigma=\sqrt{\text{variância}}â, multiplique por z e some à média.
  • Nota sobre notação: se o enunciado tivesse usado a convenção alternativa N(\mu,\sigma) (menos comum), o procedimento é o mesmo, mas aí \sigma seria 10 e o resultado seria muito diferente. Aqui segui a convenção padrão N(\mu,\sigma^{2}).

Resposta

x \approx 105,20

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