Considere
.
Calcule:
o valor
tal que
o valor
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- O enunciado pede: encontrar o valor
tal que . - O enunciado dá a distribuição:
.
Observação importante (assunção): aqui vou adotar a convenção padrão
. Assim:
- a média é
, - a variância é
, - o desvio padrão é
.
Passo 2
Ideia geral do método (explicação didática do que vamos usar):
Para uma variável normal
podemos transformar para a normal padrão
usando a padronização. A fórmula de padronização é
Essa transformação significa que
. Para achar
tal que
basta achar o quantil
da normal padrão tal que
e então despadronizar por
Explicando as variáveis:
-
é a média de (valor central), -
é o desvio padrão de , -
é o 95º percentil da normal padrão (número tal que ).
Passo 3
Calcular o desvio padrão
a partir da variância dada:
Temos
. Então
Uma boa aproximação numérica é
(Arredondei para os dígitos necessários para a conta; em prova normalmente usar tabela/ calculadora para essa raiz.)
Passo 4
Encontrar o quantil
tal que
para
:
Esse é um valor padrão que se obtém em tabela da normal padrão ou calculadora estatística. O valor comumente usado é
Na prática de prova, pode-se usar a aproximação
(tabelas costumam dar
ou
com casas decimais). Vou usar o valor mais preciso indicado acima para melhorar a resposta final.
Passo 5
Calcular o produto
(mostrando as contas passo a passo, para fazer no caderno sem pular etapas):
Temos
e
. Multiplicando:
Fazendo a multiplicação em partes (para entender a operação):
Calculando a segunda parcela com aproximação controlada:
portanto
(Se usar
e
obtém-se praticamente o mesmo:
.)
Passo 6
Despadronizar para obter
:
Usando
e o valor de
calculado:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (forma comum em provas):
Passo 7
Interpretação final e dica de prova:
- O valor
é tal que da massa da distribuição fica à esquerda de . - Em prova: memorize ou tenha à mão a tabela da normal padrão; para
use . Calcule , multiplique por e some à média. - Nota sobre notação: se o enunciado tivesse usado a convenção alternativa
(menos comum), o procedimento é o mesmo, mas aí seria e o resultado seria muito diferente. Aqui segui a convenção padrão .