Utilize a função rnorm para gerar uma amostra de tamanho 100 de uma normal com média 50 e desvio padrão 5.
Calcule:
(a) a média da amostra;
(b) o desvio padrão da amostra.

Passo 1

O enunciado pede que se gere uma amostra de tamanho 100 de uma normal com média 50 e desvio padrão 5 usando a função \texttt{rnorm} (isso é em R) e que se calcule:
(a) a média da amostra;
(b) o desvio padrão da amostra.
Informações dadas:
  • tamanho da amostra: n=100;
  • distribuição populacional: normal com média \mu=50 e desvio padrão \sigma=5;
  • função sugerida: \texttt{rnorm(n, mean, sd)} em R (vai gerar uma amostra aleatória).

Passo 2

Como executar em R (passo prático para obter a amostra e os valores):
  • para gerar a amostra:
\texttt{set.seed(123)}\quad\text{(opcional, para tornar reproduzível)}í
\texttt{x <- rnorm(100, mean = 50, sd = 5)}
  • para calcular a média amostral em R:
\texttt{mean(x)}
  • para calcular o desvio padrão amostral em R:
\texttt{sd(x)}
Observação amigável: \texttt{rnorm} gera números aleatórios; cada execução (com seed diferente) dará uma amostra e resultados ligeiramente diferentes. Usar \texttt{set.seed(...)} fixa a aleatoriedade para obter sempre os mesmos números.

Passo 3

Definição e fórmula da média amostral (o que vamos calcular no item (a)):
  • A média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida por n.
  • Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde:
  • x_i são os valores da amostra (cada observação gerada por \texttt{rnorm});
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100).
Explicação em miúdos: somar todos os 100 valores e dividir por 100 — isso dá a média da amostra. Na prática, o comando \texttt{mean(x)} faz exatamente isso.

Passo 4

Exemplo pequeno (para fixar a ideia de como calcular passo a passo sem R):
Suponha uma mini-amostra \{48, 52, 50, 47, 53\} (só para exemplificar).
  • Soma: 48+52+50+47+53=250.
  • n=5.
  • Média:
\bar{x}=\frac{250}{5}=50
Este exemplo mostra o processo manual: soma e divisão. Para n=100 faz-se exatamente igual, só que com muito mais termos — por isso a gente usa R.

Passo 5

Definição e fórmula do desvio padrão amostral (item (b)):
  • O desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral.
  • A variância amostral (com correção de Bessel, usada por padrão em R) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}
onde:
  • x_i são as observações;
  • \bar{x} é a média amostral;
  • n-1 é o número de graus de liberdade (explicação abaixo).
  • O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2}}.
Por que usar n-1 e não n? Porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra e usamos \bar{x} (uma estimativa) na soma dos quadrados; dividir por n-1 corrige o viés e dá uma estimativa imparcial da variância populacional quando a amostra é proveniente de uma população normal.

Passo 6

Como calcular manualmente (passos concretos):
  1. Calcule \bar{x} com a fórmula do Passo 3.
  2. Para cada observação, calcule o desvio d_i=x_i-\bar{x}.
  3. Eleve ao quadrado: d_i^{2}.
  4. Some todos os d_i^{2}: \sum_{i=1}^{n} d_i^{2}.
  5. Divida por n-1: isso dá s^{2}.
  6. Tire a raiz quadrada: s=\sqrt{s^{2}}.
No R, \texttt{sd(x)} já faz todos esses passos e usa a divisão por n-1.

Passo 7

Um exemplo numérico pequeno (continuação do exemplo da média) para fixar o cálculo do desvio padrão:
Com a mini-amostra \{48,52,50,47,53\}:
  • Média \bar{x}=50.
  • Desvios: -2, +2, 0, -3, +3.
  • Quadrados: 4,4,0,9,9.
  • Soma dos quadrados: 4+4+0+9+9=26.
  • n-1=4. Então
s^{2}=\frac{26}{4}=6,5
s=\sqrt{6,5}\approx2,55
Isso demonstra todos os passos concretos; para n=100 procede-se igual, só com mais termos.

Passo 8

Aplicando ao problema real com \texttt{rnorm}:
  • Gere a amostra em R conforme o Passo 2.
  • Calcule \bar{x}=\texttt{mean(x)} e s=\texttt{sd(x)}.
  • Resultado esperado: por serem amostras de uma população com \mu=50 e \sigma=5, numericamente a média amostral ficará próximo de 50 e o desvio padrão amostral ficará próximo de 5. Mas lembre-se: valores exatos variam por acaso amostral.
Dica prática e motivadora: coloque \texttt{set.seed(123)} antes de \texttt{rnorm} se quiser repetir exatamente a mesma amostra para estudo ou para a sua prova prática.

Passo 9

Resumo final e o que anotar na prova:
  • Mostre o comando usado em R (ou diga que gerou a amostra).
  • Apresente a média amostral calculada por \bar{x}=\dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i.
  • Apresente o desvio padrão calculado por s=\sqrt{\dfrac{1}{99}\sum_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x})^{2}}.
  • Num problema de prova que exige apenas o procedimento, escrever essas fórmulas e dizer que se aplicou \texttt{rnorm(100,50,5)} e depois \texttt{mean} e \texttt{sd} já costuma ser suficiente.

Resposta

(a) \bar{x}\approx50,0
(b) s\approx5,0

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