Considere a, b in R tais que a>0 e b>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a elipse cuja equação é (x-a)^2a^2+y^2b^2=12 em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume dos sólidos gerados pela rotação da elipse (x-a)^2a^2 + y^2b^2 = tfrac12, com a>0 e b>0, em torno dos eixos x e y. O conteúdo envolve o método dos discos (para rotação em torno de x) e o método dos anéis (para rotação em torno de y). Vamos isolar y(x) e x(y), montar as integrais adequadas e calcular passo a passo.

Passo 2

Para a rotação em torno do eixo x, isolamos y em função de x:
(y(x))^2 = b^2l(tfrac12 - tfrac(x-a)^2a^2r)
O sólido é obtido por discos de raio |y(x)| para x variando em
x in l[a - tfracaraiz2,,a + tfracaraiz2r]
Então o volume é
Vx = pi integrala - a/raiz2^a + a/raiz2 (y(x))^2,dx = pi b^2 integrala - a/raiz2^a + a/raiz2l(tfrac12 - tfrac(x-a)^2a^2r)dx
Com a mudança de variável t = x - a, os limites vão de -a/raiz2 a +a/raiz2 e a integral se reduz a um polinômio em t^2. Calculando, obtemos
Vx = 2pi a b^23raiz2

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, isolamos x em função de y:
x = a pm araiztfrac12 - tfracy^2b^2
Cada seção em y gera um anel de raio externo R+(y)=a + aS e interno R-(y)=a - aS, onde S=raiztfrac12 - tfracy^2b^2. A área do anel é
A(y) = pil(R+^2 - R-^2r) = 4pi a^2raiztfrac12 - tfracy^2b^2
O volume é então
Vy = integral-b/raiz2^b/raiz2A(y),dy = 4pi a^2 integral-b/raiz2^b/raiz2raiztfrac12 - tfracy^2b^2,dy
Usando simetria e a substituição u=y/b, a integral se reduz a um caso trigonométrico cujo valor é pi/8. Assim chegamos em
Vy = pi^2 a^2 b

Resposta

Volumes dos sólidos:
V_x = 2pi a b^23raiz2 (rotação em torno de x)
V_y = pi^2 a^2 b (rotação em torno de y)

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