Considere
tais que
e
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a elipse cuja equação é
em torno:
(1) do eixo
.
(2) do eixo
.
(1) do eixo
(2) do eixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume dos sólidos gerados pela rotação da elipse
, com
e
, em torno dos eixos
e
. O conteúdo envolve o método dos discos (para rotação em torno de
) e o método dos anéis (para rotação em torno de
). Vamos isolar
e
, montar as integrais adequadas e calcular passo a passo.
Passo 2
Para a rotação em torno do eixo
, isolamos
em função de
:
O sólido é obtido por discos de raio
para
variando em
Então o volume é
Com a mudança de variável
, os limites vão de
a
e a integral se reduz a um polinômio em
. Calculando, obtemos
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo
, isolamos
em função de
:
Cada seção em
gera um anel de raio externo
e interno
, onde
. A área do anel é
O volume é então
Usando simetria e a substituição
, a integral se reduz a um caso trigonométrico cujo valor é
. Assim chegamos em
Resposta
Volumes dos sólidos:
V_x =
(rotação em torno de x)
V_y =
(rotação em torno de y)