Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(n) lim (x, y, z) (2,1,-1) e^-3(x+2 z y) cos (pi z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y,z)to(2,1,-1) e^-3(x+2zy)cos(pi z). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e, para resolver, vamos usar a propriedade de continuidade de funções elementares: soma, produto, exponencial e cosseno.

Passo 2

Sabemos que as operações envolvidas (soma, produto), a função exponencial e^u e o cosseno cos v são contínuas em todo o domínio. Logo, o limite da composição é igual ao valor da função no ponto, se ele existir.

Passo 3

Aplicando a continuidade, avaliamos em (x,y,z)=(2,1,-1):
f(2,1,-1)=e^-3l(2+2cdot(-1)cdot1r)cosl(picdot(-1)r)
Calcule o expoente:
-3l(2-2r)=-3cdot0=0
e lembre que cos(-pi)=cospi=-1. Portanto,
f(2,1,-1)=e^0cdot(-1)=1cdot(-1)=-1

Passo 4

Como encontramos um valor único e finito por continuidade, concluímos que o limite existe e vale esse valor.

Resposta

-1

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