Verifique se a função g é contínua em (0,0), em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=cc x^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a função
g definida por
g(x,y)= x^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar verificar se
.

Passo 2

Para que g seja contínua em (0,0), precisamos mostrar que
g(x,y) tende a 0 quando (x,y)to(0,0), pois g(0,0)=0.

Passo 3

Observe que
(x,y)
para todo (x,y)neq(0,0). Assim, para 0<= g(x,y)=x^4x^2+y^2<= (x^2+y^2)^2x^2+y^2=x^2+y^2 temos o encadeamento

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0, pelo Teorema do Aperto segue que
.

Passo 5

Portanto, lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=g(0,0)=0, o que prova a continuidade de g em (0,0).

Resposta

g é contínua em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0=g(0,0).

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