Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). O enunciado nos pede para calcular:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema do Confronto, que basicamente nos ajuda a encontrar limites de funções complicadas comparando-as com funções mais simples cujos limites já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: $ y^{2} \sin{2}\left(x{2}\right) $. Sabemos que $ \sin(t) $ sempre está entre -1 e 1, então $ \sin^{2}(t) $ está entre 0 e 1. Aplicando isso a $ \sin{2}\left(x{2}\right) $, temos:
Passo 3
Multiplicando todos os membros da desigualdade por $ y^{2} $ (que é sempre positivo ou zero), continuamos com:
Passo 4
Agora, substituímos essa desigualdade na nossa expressão original:
Passo 5
Vamos analisar o limite de $ \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Observe que:
E, quando $ x $ e $ y $ tendem a 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas a fração como um todo tende a 0 porque $ y^{2} $ é “dominado” por $ x^{2} + y^{2} $.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto, já que:
E ambos os extremos (0 e $ \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $) tendem a 0 quando $ (x, y) \rightarrow (0,0) $, então a expressão do meio também tende a 0.
Resposta
Portanto,