Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a) lim (x, y) (0,0) y^2 sen^2(x^2)x^2+y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). O enunciado nos pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) y^2 sin^2(x^2)x^2+y^2=0
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema do Confronto, que basicamente nos ajuda a encontrar limites de funções complicadas comparando-as com funções mais simples cujos limites já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: $ y^{2} \sin{2}\left(x{2}\right) $. Sabemos que $ \sin(t) $ sempre está entre -1 e 1, então $ \sin^{2}(t) $ está entre 0 e 1. Aplicando isso a $ \sin{2}\left(x{2}\right) $, temos:
y^2 sin^2(x^2)

Passo 3

Multiplicando todos os membros da desigualdade por $ y^{2} $ (que é sempre positivo ou zero), continuamos com:
y^2

Passo 4

Agora, substituímos essa desigualdade na nossa expressão original:
0 <= y^2 sin^2(x^2)x^2+y^2 <= y^2x^2+y^2

Passo 5

Vamos analisar o limite de $ \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Observe que:
y^2x^2+y^2
E, quando $ x $ e $ y $ tendem a 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas a fração como um todo tende a 0 porque $ y^{2} $ é “dominado” por $ x^{2} + y^{2} $.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto, já que:
0 <= y^2 sin^2(x^2)x^2+y^2 <= y^2x^2+y^2
E ambos os extremos (0 e $ \frac{y{2}}{x{2}+y^{2}} $) tendem a 0 quando $ (x, y) \rightarrow (0,0) $, então a expressão do meio também tende a 0.

Resposta

Portanto,
lim (x, y) (0,0) y^2 sin^2(x^2)x^2+y^2=0

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