Determine quais das seguintes matrizes são ortogonais. Para as que são ortogonais, obtenha a inversa.
(d) [crc-1 / raiz2 & 1 / raiz6 & 1 / raiz3 0 & -2 / raiz6 & 1 / raiz3 1 / raiz2 & 1 / raiz6 & 1 / raiz3]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 0 & -2raiz6 & 1raiz3 1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3
e pede para verificar se A é ortogonal (isto é, A^T A = I) e, em caso afirmativo, obter A^-1. O conteúdo aqui é produto interno e matrizes ortogonais.

Passo 2

Chamando as colunas de v1,v2,v3, verificamos normas e produto interno:
|v1|^2 = tfrac12 + 0 + tfrac12 = 1, |v2|^2 = tfrac16+tfrac46+tfrac16=1, |v3|^2 = tfrac13+tfrac13+tfrac13=1,
v1!cdot!v2 = 0, v1!cdot!v3 = 0, v2!cdot!v3 = 0
Como as colunas são ortonormais, A^T A=I e A é ortogonal.

Passo 3

Para toda matriz ortogonal vale
A^-1 = A^T
Basta transpor A para obter
A^-1 = -1raiz2 & 0 & 1raiz2 1raiz6 & -2raiz6 & 1raiz6 1raiz3 & 1raiz3 & 1raiz3

Resposta

A matriz é ortogonal e
A^-1 = -1raiz2 & 0 & 1raiz2 1raiz6 & -2raiz6 & 1raiz6 1raiz3 & 1raiz3 & 1raiz3

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