Considere um tanque cilíndrico, inicialmente vazio, sendo alimentado por uma vazão
de água em litros por minuto (
é o tempo em minutos).
Para uma vazão
litros por minuto, após três minutos, qual será o volume de água contido no tanque?
Para uma vazão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um tanque cilíndrico que está vazio no começo e está recebendo água com uma vazão que varia ao longo do tempo. O que queremos descobrir é qual será o volume de água no tanque após três minutos, sabendo que a vazão
é igual a
litros por minuto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo, especificamente como calcular integrais para encontrar volumes a partir de taxas que variam no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vazão
litros por minuto. Isso quer dizer que a quantidade de água entrando no tanque aumenta conforme o tempo passa. No início, quando
é pequeno, a vazão é menor, e conforme o tempo aumenta, a vazão também aumenta.
Passo 3
Para encontrar o volume de água no tanque após três minutos, precisamos somar todas as pequenas quantidades de água que entram no tanque a cada instante de tempo durante esses três minutos. Matematicamente, isso é representado pela integral da função de vazão
de
até
.
Passo 4
A integral que representa o volume
após três minutos é:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, o termo da constante
não afeta o resultado.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
Após três minutos, o volume de água contido no tanque será de 9 litros.