Considere um tanque cilíndrico, inicialmente vazio, sendo alimentado por uma vazão f(t) de água em litros por minuto ( t é o tempo em minutos).
Para uma vazão f(t)=t^2 litros por minuto, após três minutos, qual será o volume de água contido no tanque?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um tanque cilíndrico que está vazio no começo e está recebendo água com uma vazão que varia ao longo do tempo. O que queremos descobrir é qual será o volume de água no tanque após três minutos, sabendo que a vazão f(t) é igual a t^2 litros por minuto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo, especificamente como calcular integrais para encontrar volumes a partir de taxas que variam no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vazão f(t) = t^2 litros por minuto. Isso quer dizer que a quantidade de água entrando no tanque aumenta conforme o tempo passa. No início, quando t é pequeno, a vazão é menor, e conforme o tempo aumenta, a vazão também aumenta.

Passo 3

Para encontrar o volume de água no tanque após três minutos, precisamos somar todas as pequenas quantidades de água que entram no tanque a cada instante de tempo durante esses três minutos. Matematicamente, isso é representado pela integral da função de vazão f(t) de t = 0 até t = 3.

Passo 4

A integral que representa o volume V após três minutos é:
V = integral0^3 f(t) , dt = integral0^3 t^2 , dt

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de t^2 em relação a t é:
integral t^2 , dt = t^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 3, o termo da constante C não afeta o resultado.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
V = [ t^33 ]0^3 = 3^33 - 0^33

Passo 7

Calculando os valores:
V = 273 - 0 = 9 , litros

Resposta

Após três minutos, o volume de água contido no tanque será de 9 litros.

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