Considere um tanque contendo 5000 ell de água. Uma solução de salmoura entra no tanque a uma taxa constante de 6 ell / min. A solução dentro do tanque é mantida agitada e é retirada a uma taxa de 5 ell / min. Se a concentração de sal na salmoura entrando no tanque é de 0,1 kg / ell, determine a concentração de sal no tanque como uma função do tempo.

Passo 1

A questão é um problema de mistura de sal num tanque onde entra salmoura e sai mistura; o que queremos é achar a concentração de sal em função do tempo. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e usaremos o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Definimos: S(t) = quantidade de sal no tanque em kg no instante t; V(t) = volume no tanque em L. Como entra 6 L/min e sai 5 L/min, temos
V'(t)=6-5=1
com V(0)=5000, logo
V(t)=5000+t

Passo 3

Agora montamos a EDO para S(t): entra sal a 0,1,kg/Ltimes6,L/min=0,6,kg/min e sai sal à concentração S/V a 5,L/min, ou seja
S'(t)=0,6-5S(t)V(t) = 0,6-5S(t)5000+t

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão S'+p(t)S=q(t), temos
S'(t)+55000+tS(t)=0,6
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral55000+tdtr)=expl(5ln(5000+t)r)=(5000+t)^5
Multiplicando a EDO por mu(t):
ddtl[S(t)(5000+t)^5r]=0,6(5000+t)^5

Passo 5

Integrando ambos os lados:
S(t)(5000+t)^5=integral0,6(5000+t)^5dt=0,6(5000+t)^66+C=0,1(5000+t)^6+C
Logo
S(t)=0,1(5000+t)+C(5000+t)^5

Passo 6

Usando condição inicial: tanque começa com água pura, logo S(0)=0. Substituindo:
0=0,1cdot5000+C5000^5implies C=-0,1,5000^6
Assim
S(t)=0,1(5000+t)-0,15000^6(5000+t)^5

Passo 7

A concentração pedido é c(t)=S(t)/V(t). Dividindo por 5000+t obtemos
c(t)=0,1-0,1l(50005000+tr)^6
que é a resposta buscada.

Resposta

A concentração de sal no tanque é
c(t)=0,1l[1-l(50005000+tr)^6r](kg/L)

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