Considere um tanque contendo
de água. Uma solução de salmoura entra no tanque a uma taxa constante de
. A solução dentro do tanque é mantida agitada e é retirada a uma taxa de
. Se a concentração de sal na salmoura entrando no tanque é de
, determine a concentração de sal no tanque como uma função do tempo.
Passo 1
A questão é um problema de mistura de sal num tanque onde entra salmoura e sai mistura; o que queremos é achar a concentração de sal em função do tempo. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e usaremos o método do fator integrante para resolvê-la.
Passo 2
Definimos: S(t) = quantidade de sal no tanque em kg no instante t; V(t) = volume no tanque em L. Como entra 6 L/min e sai 5 L/min, temos
com V(0)=5000, logo
Passo 3
Agora montamos a EDO para S(t): entra sal a
e sai sal à concentração
a
, ou seja
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão
, temos
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Logo
Passo 6
Usando condição inicial: tanque começa com água pura, logo
. Substituindo:
Assim
Passo 7
A concentração pedido é
. Dividindo por
obtemos
que é a resposta buscada.
Resposta
A concentração de sal no tanque é