A equação de Bessel de ordem
é da seguinte forma:
(a) Utilizando o método de Frobenius proponha uma solução em série em torno do ponto singular para a EDO de Bessel de ordem
. Em seguida determine a equação indicial e suas raízes. Qual destas raízes deve ser utilizada para obter a primeira solução
da EDO de Bessel? Res:
e
. Como
, i.e. diferem por um inteiro, devemos utilizar a maior das raízes
para obter a primeira solução.
Passo 1
Vamos resolver a equação de Bessel de ordem
pelo método de Frobenius.
Passo 2
Começamos propondo uma solução em série de Frobenius em torno de
. Ou seja, assumimos
Em seguida calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na equação de Bessel
e agrupamos as potências de
. O termo de menor expoente é aquele em
, cuja soma de coeficientes deve anular-se para dar solução não trivial. Isso leva à equação indicial:
Passo 4
Logo temos
Para
a equação indicial vira
cujo resultado é
Passo 5
Como as raízes diferem por um número inteiro
, a primeira solução de Frobenius
é obtida tomando a maior raiz, ou seja,
.
Resposta
As raízes da equação indicial são
e
, e para obter a primeira solução
usamos
.