A equação de Bessel de ordem nu é da seguinte forma:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-nu^2) y=0
(a) Utilizando o método de Frobenius proponha uma solução em série em torno do ponto singular para a EDO de Bessel de ordem nu=3 / 2. Em seguida determine a equação indicial e suas raízes. Qual destas raízes deve ser utilizada para obter a primeira solução y1(x) da EDO de Bessel? Res: r^2-94=0 Rightarrow r1=32 e r2=-32. Como r1-r2=2, i.e. diferem por um inteiro, devemos utilizar a maior das raízes (r1=32) para obter a primeira solução.

Passo 1

Vamos resolver a equação de Bessel de ordem nu=3/2 pelo método de Frobenius.

Passo 2

Começamos propondo uma solução em série de Frobenius em torno de x=0. Ou seja, assumimos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r
Em seguida calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1,
y''(x)=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-2

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na equação de Bessel
x^2y''+xy'+l(x^2-nu^2r)y=0,
e agrupamos as potências de x. O termo de menor expoente é aquele em x^r, cuja soma de coeficientes deve anular-se para dar solução não trivial. Isso leva à equação indicial:
a0l[r(r-1)+r -nu^2r]=0

Passo 4

Logo temos
r^2-nu^2=0
Para nu=3/2 a equação indicial vira
r^2-94=0,
cujo resultado é
r1=+32, r2=-32

Passo 5

Como as raízes diferem por um número inteiro (r1-r2=3), a primeira solução de Frobenius y1(x) é obtida tomando a maior raiz, ou seja, r1=3/2.

Resposta

As raízes da equação indicial são r1=3/2 e r2=-3/2, e para obter a primeira solução y1(x) usamos r1=3/2.

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