Resolva o problema de valor inicial
x cos x+(1-6 y^5) d yd x=0
onde y(pi)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial de variáveis separáveis: xcos x + (1-6y^5)dydx = 0 com a condição y(pi)=0. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Como a equação está na forma xcos x + (1-6y^5)dydx = 0, podemos isolar dy e dx escrevendo:
(1 - 6y^5),dy = -,xcos x,dx
Esse passo usa o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos em y multiplicando dy de um lado e todos os termos em x multiplicando dx do outro.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo:
integral (1 - 6y^5),dy = integral 1,dy - 6integral y^5,dy = y - y^6 + C1
No lado direito temos
-integral xcos x,dx
para o qual usamos integração por partes. Seja u = x e dv = cos x,dx. Então du = dx e v = sin x, e
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x + C2
como integral sin x,dx = -cos x. Logo o lado direito fica
-l(xsin x + cos xr) + C3 = -xsin x - cos x + C3
Juntando as integrais e absorvendo constantes em uma única C, obtemos a solução implícita geral:
y - y^6 = -xsin x - cos x + C

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(pi)=0. Substituindo x=pi e y=0 em
0 - 0^6 = -pisinpi - cospi + C
como sinpi=0 e cospi=-1, isso dá
0 = -0 - (-1) + C Rightarrow C = -1
Substituindo C=-1 na solução implícita geral, chegamos ao resultado final:
y - y^6 = -xsin x - cos x - 1

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
y - y^6 = -xsin x - cos x - 1

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