Resolva o problema de valor inicial
onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial de variáveis separáveis:
com a condição
. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Como a equação está na forma
, podemos isolar
e
escrevendo:
Esse passo usa o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos em
multiplicando
de um lado e todos os termos em
multiplicando
do outro.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo:
No lado direito temos
para o qual usamos integração por partes. Seja
e
. Então
e
, e
como
. Logo o lado direito fica
Juntando as integrais e absorvendo constantes em uma única
, obtemos a solução implícita geral:
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
como
e
, isso dá
Substituindo
na solução implícita geral, chegamos ao resultado final:
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é