Resolva as Equações Diferenciais:
(x y+y^2+x^2)-(x^2) d yd x=0, com x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (x y + y^2 + x^2) - x^2 dydx = 0 para x>0. O conteúdo aqui é reconhecimento de uma equação homogênea de grau zero e uso da substituição v=y/x.

Passo 2

Primeiro, isolamos dydx. Reescrevendo, temos:
x^2 dydx = x y + y^2 + x^2
Dividindo tudo por x^2:
dydx = xyx^2 + y^2x^2 + x^2x^2 = yx + l(yxr)^2 + 1

Passo 3

Note que o lado direito depende apenas de y/x. Isso indica que a equação é homogênea de grau zero e podemos usar a substituição v = yx, ou seja, y = v x.

Passo 4

Calculamos dydx em função de v:
dydx = v + x dvdx

Passo 5

Substituindo na equação original:
v + x dvdx = 1 + v + v^2
Logo
x dvdx = 1 + v^2
que é separável.

Passo 6

Separamos variáveis e integramos:
integral dv1+v^2 = integral dxx
Isso dá
arctan(v) = ln|x| + C
Como x>0, temos ln|x|=ln x.

Passo 7

Voltando a v=y/x, obtemos a solução implícita
arctanl(yxr) - ln x = C
e, isolando y, chega-se à forma explícita abaixo.

Resposta

y = x \tan\bigl(\ln x + C\bigr)

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