Resolva as Equações Diferenciais:
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
para
. O conteúdo aqui é reconhecimento de uma equação homogênea de grau zero e uso da substituição
.
Passo 2
Primeiro, isolamos
. Reescrevendo, temos:
Dividindo tudo por
:
Passo 3
Note que o lado direito depende apenas de
. Isso indica que a equação é homogênea de grau zero e podemos usar a substituição
, ou seja,
.
Passo 4
Calculamos
em função de
:
Passo 5
Substituindo na equação original:
Logo
que é separável.
Passo 6
Separamos variáveis e integramos:
Isso dá
Como
, temos
.
Passo 7
Voltando a
, obtemos a solução implícita
e, isolando
, chega-se à forma explícita abaixo.
Resposta
y = x \tan\bigl(\ln x + C\bigr)