3.4 Considere um sistema tubo-em-tubo destinado ao transporte de petróleo cru, no qual o escoamento interno troca calor com a água oceânica no exterior. O tubo interno possui diâmetro interno
e espessura
, enquanto o tubo externo possui diâmetro interno
e espessura
. O material dos tubos é aço, com condutividade térmica
. Entre os tubos há uma camada de poliuretano com condutividade térmica
, cuja temperatura máxima admissível de serviço é
. O petróleo cru no interior do tubo troca calor por convecção com coeficiente
, enquanto a água oceânica no exterior está a
e troca calor com coeficiente
. Admitindo regime permanente, condução unidimensional radial, propriedades constantes e desprezando resistências térmicas de contato, determine a máxima temperatura admissível do petróleo cru para que a temperatura do poliuretano não exceda
: (a) sem camada de aerogel; (b) com uma camada adicional de aerogel de espessura
e condutividade térmica
.
Passo 1
O enunciado pede que se determine a temperatura máxima admissível do petróleo cru (temperatura do escoamento interno) de modo que a temperatura do poliuretano não exceda
, nas duas situações:
- (a) sem camada de aerogel;
- (b) com uma camada de aerogel de espessura
e condutividade .
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e da figura):
- Diâmetros e espessuras:
-
(diâmetro interno do tubo interno); -
(espessura do tubo interno); -
(diâmetro interno do tubo externo); -
(espessura do tubo externo).
-
- Condutividades:
- aço:
; - poliuretano:
; - (aerogel, caso b)
, .
- aço:
- Convecções e temperaturas:
- coeficiente interno
; - coeficiente externo
; - temperatura do mar (fluido externo):
.
- coeficiente interno
- Objetivo prático: garantir que a temperatura do poliuretano (máxima dentro do material) não exceda
. Observação geométrica (usada depois): - raio interno do tubo interno
; - raio externo do tubo interno
; - raio interno do tubo externo
; - raio externo do tubo externo
.
- raio interno do tubo interno
Passo 2
Plano de solução e fórmulas importantes (aula rápida):
- Trabalhamos em regime permanente e condução radial em coord. cilíndricas; a resistência térmica por condução radial entre dois raios
e (por unidade de comprimento ) é dada por
Explicação: a equação vem da solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas para uma casca cilíndrica;
é a condutividade do material,
é o comprimento (aqui tomamos
, ou seja, resistências por metro de comprimento).
- A resistência convectiva em circulação (por unidade de comprimento) na superfície de diâmetro
é
Aqui
é o coeficiente convectivo e
é a área lateral por comprimento
.
- Montamos a rede térmica radial série entre o óleo (temperatura
) e o mar (temperatura ). O fluxo térmico por unidade de comprimento é
onde
é a soma das resistências do caminho óleo → conv. interna → tubo interno (aço) → (possível aerogel) → poliuretano → tubo externo (aço) → conv. externa → mar.
- A temperatura no interior do poliuretano no ponto de maior temperatura (a qual devemos limitar a
) é a temperatura na superfície interna do poliuretano (ponto mais quente do isolamento), que fica depois da(s) resistência(s) desde o óleo. Assim, se conhecemos e somamos as resistências entre o óleo e essa superfície do poliuretano, podemos obter a queda de temperatura e a relação entre e . Em seguida impomos e resolvemos para .
Passo 3
Conversão e geometria numérica (valores em metros, raio = metade do diâmetro):
- Converter diâmetros/espessuras para metros:
-
, . -
, . - (se aplicável)
.
-
- Raios:
- raio interno do tubo interno:
. - raio externo do tubo interno:
. - raio interno do tubo externo:
. - raio externo do tubo externo:
.
- raio interno do tubo interno:
- Área lateral por metro (para convecção interna):
. - Área lateral por metro (para convecção externa):
(onde ).
Passo 4
Cálculo das resistências (caso a) — sem aerogel.
- resistência convectiva interna (por metro):
Cálculo numérico:
- resistência de condução no aço interno (entre
e ):
Cálculo numérico:
- resistência de condução no poliuretano (entre
e ):
Cálculo numérico:
- resistência de condução no aço externo (entre
e ):
Cálculo numérico:
- resistência convectiva externa:
Cálculo numérico:
- soma das resistências (total do óleo ao mar):
Passo 5
Relação entre
e a temperatura interna do poliuretano (sem aerogel).
- A queda de temperatura entre o óleo e a superfície interna do poliuretano ocorre nas resistências
. Assim, se é o fluxo por metro,
e
Substituindo
obtemos
Isolando
com a condição
:
Passo 6
Cálculo numérico (caso a):
- Calcular coeficiente
:
- Aplicando a fórmula com
e :
Portanto, sem aerogel a temperatura máxima admissível do petróleo é aproximadamente
.
Passo 7
Cálculo das resistências (caso b) — com camada de aerogel de
.
Geometria modificada:
Geometria modificada:
- a camada de aerogel fica entre o tubo interno (raio
) e o poliuretano; assim a nova interface (raio entre aerogel e poliuretano) é - então o poliuretano agora ocupa de
até .
Resistências:
- resistência da aerogel (entre
e ):
Cálculo numérico:
- resistência do poliuretano reduzida (entre
e ):
Cálculo numérico:
- as demais resistências (convecção interna, aço interno, aço externo, convecção externa) permanecem praticamente as mesmas:
- novo
:
Passo 8
Relação entre
e a temperatura interna do poliuretano (com aerogel).
- Agora a superfície interna do poliuretano fica depois da resistência do aerogel; portanto a queda entre o óleo e essa superfície passa por
. - Analogamente ao caso anterior:
Isolando
com
obtemos a fórmula correspondente.
Passo 9
Cálculo numérico (caso b):
- soma das resistências entre óleo e superfície interna do poliuretano:
- coeficiente
. - aplicação da fórmula:
Portanto, com a camada de aerogel de
a temperatura máxima admissível do petróleo é aproximadamente
.
Passo 10
Interpretação curta e incentivo (rápida): a grande diferença entre (a) e (b) mostra que o aerogel aumenta fortemente a resistência térmica próxima ao fluido quente, permitindo que o óleo esteja muito mais quente sem levar o poliuretano acima de
. Isso é esperado porque o aerogel tem condutividade extremamente baixa. Segue a resposta final.
Resposta
(a)
(b)
(b)