3.4 Considere um sistema tubo-em-tubo destinado ao transporte de petróleo cru, no qual o escoamento interno troca calor com a água oceânica no exterior. O tubo interno possui diâmetro interno D_{i, 1}=150 \mathrm{~mm} e espessura t_{i}=10 \mathrm{~mm}, enquanto o tubo externo possui diâmetro interno D_{i, 2}=250 \mathrm{~mm} e espessura t_{o}=10 \mathrm{~mm}. O material dos tubos é aço, com condutividade térmica k_{s}=35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Entre os tubos há uma camada de poliuretano com condutividade térmica k_{p}= 0,075 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, cuja temperatura máxima admissível de serviço é 70^{\circ} \mathrm{C}. O petróleo cru no interior do tubo troca calor por convecção com coeficiente h_{i}=450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}, enquanto a água oceânica no exterior está a T_{\infty, o}=-5^{\circ} \mathrm{C} e troca calor com coeficiente h_{o}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Admitindo regime permanente, condução unidimensional radial, propriedades constantes e desprezando resistências térmicas de contato, determine a máxima temperatura admissível do petróleo cru para que a temperatura do poliuretano não exceda 70^{\circ} \mathrm{C} : (a) sem camada de aerogel; (b) com uma camada adicional de aerogel de espessura t_{a q}=5 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k_{a q}=0,012 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a temperatura máxima admissível do petróleo cru (temperatura do escoamento interno) de modo que a temperatura do poliuretano não exceda 70^\circ\mathrm{C}, nas duas situações:
  • (a) sem camada de aerogel;
  • (b) com uma camada de aerogel de espessura t_{aq}=5\\ \mathrm{mm} e condutividade k_{aq}=0,012\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e da figura):
  • Diâmetros e espessuras:
    • D_{i,1}=150\\ \mathrm{mm} (diâmetro interno do tubo interno);
    • t_i=10\\ \mathrm{mm} (espessura do tubo interno);
    • D_{i,2}=250\\ \mathrm{mm} (diâmetro interno do tubo externo);
    • t_o=10\\ \mathrm{mm} (espessura do tubo externo).
  • Condutividades:
    • aço: k_s=35\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K};
    • poliuretano: k_p=0,075\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K};
    • (aerogel, caso b) k_{aq}=0,012\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, t_{aq}=5\\ \mathrm{mm}.
  • Convecções e temperaturas:
    • coeficiente interno h_i=450\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K};
    • coeficiente externo h_o=500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K};
    • temperatura do mar (fluido externo): T_{\infty,o}=-5^\circ\mathrm{C}.
  • Objetivo prático: garantir que a temperatura do poliuretano (máxima dentro do material) não exceda 70^\circ\mathrm{C}. Observação geométrica (usada depois):
    • raio interno do tubo interno r_{i,inner}=\dfrac{D_{i,1}}{2};
    • raio externo do tubo interno r_{o,inner}=r_{i,inner}+t_i;
    • raio interno do tubo externo r_{i,outer}=\dfrac{D_{i,2}}{2};
    • raio externo do tubo externo r_{o,outer}=r_{i,outer}+t_o.

Passo 2

Plano de solução e fórmulas importantes (aula rápida):
  • Trabalhamos em regime permanente e condução radial em coord. cilíndricas; a resistência térmica por condução radial entre dois raios r_1 e r_2 (por unidade de comprimento L) é dada por
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Explicação: a equação vem da solução da equação de calor em coordenadas cilíndricas para uma casca cilíndrica; k é a condutividade do material, L é o comprimento (aqui tomamos L=1\\ \mathrm{m}, ou seja, resistências por metro de comprimento).
  • A resistência convectiva em circulação (por unidade de comprimento) na superfície de diâmetro D é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A}=\frac{1}{h \,\pi D L}.
Aqui h é o coeficiente convectivo e A=\pi D L é a área lateral por comprimento L.
  • Montamos a rede térmica radial série entre o óleo (temperatura \,T_i) e o mar (temperatura \,T_{\infty,o}). O fluxo térmico por unidade de comprimento é
q'=\frac{T_i-T_{\infty,o}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências do caminho óleo → conv. interna → tubo interno (aço) → (possível aerogel) → poliuretano → tubo externo (aço) → conv. externa → mar.
  • A temperatura no interior do poliuretano no ponto de maior temperatura (a qual devemos limitar a 70^\circ\mathrm{C}) é a temperatura na superfície interna do poliuretano (ponto mais quente do isolamento), que fica depois da(s) resistência(s) desde o óleo. Assim, se conhecemos q' e somamos as resistências entre o óleo e essa superfície do poliuretano, podemos obter a queda de temperatura e a relação entre T_i e T_{\text{pol,inn}}. Em seguida impomos T_{\text{pol,inn}}=70^\circ\mathrm{C} e resolvemos para T_i.

Passo 3

Conversão e geometria numérica (valores em metros, raio = metade do diâmetro):
  • Converter diâmetros/espessuras para metros:
    • D_{i,1}=0,150\\ \mathrm{m}, t_i=0,010\\ \mathrm{m}.
    • D_{i,2}=0,250\\ \mathrm{m}, t_o=0,010\\ \mathrm{m}.
    • (se aplicável) t_{aq}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Raios:
    • raio interno do tubo interno: r_{1}=\dfrac{D_{i,1}}{2}=0,075\\ \mathrm{m}.
    • raio externo do tubo interno: r_{2}=r_{1}+t_i=0,085\\ \mathrm{m}.
    • raio interno do tubo externo: r_{3}=\dfrac{D_{i,2}}{2}=0,125\\ \mathrm{m}.
    • raio externo do tubo externo: r_{4}=r_{3}+t_o=0,135\\ \mathrm{m}.
  • Área lateral por metro (para convecção interna): A_i=\pi D_{i,1}=\pi\cdot0,150\\ \mathrm{m}.
  • Área lateral por metro (para convecção externa): A_o=\pi D_{o,ext}=\pi\cdot0,270\\ \mathrm{m} (onde D_{o,ext}=D_{i,2}+2t_o=0,270\\ \mathrm{m}).

Passo 4

Cálculo das resistências (caso a) — sem aerogel.
  1. resistência convectiva interna (por metro):
R_{hi}=\frac{1}{h_i \pi D_{i,1}}=\frac{1}{450\cdot\pi\cdot0,150}.
Cálculo numérico:
R_{hi}\approx 0,004716\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. resistência de condução no aço interno (entre r_1 e r_2):
R_{s,inner}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_s}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,085}{0,075}\right)}{2\pi\cdot35}.
Cálculo numérico:
R_{s,inner}\approx 0,000569\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. resistência de condução no poliuretano (entre r_2 e r_3):
R_{p}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_p}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,125}{0,085}\right)}{2\pi\cdot0,075}.
Cálculo numérico:
R_{p}\approx 0,81856\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. resistência de condução no aço externo (entre r_3 e r_4):
R_{s,outer}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_4}{r_3}\right)}{2\pi k_s}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,135}{0,125}\right)}{2\pi\cdot35}.
Cálculo numérico:
R_{s,outer}\approx 0,000350\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. resistência convectiva externa:
R_{ho}=\frac{1}{h_o\pi D_{o,ext}}=\frac{1}{500\cdot\pi\cdot0,270}.
Cálculo numérico:
R_{ho}\approx 0,002357\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. soma das resistências (total do óleo ao mar):
R_{\text{total}}=R_{hi}+R_{s,inner}+R_{p}+R_{s,outer}+R_{ho}\approx 0,826553\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.

Passo 5

Relação entre T_i e a temperatura interna do poliuretano (sem aerogel).
  • A queda de temperatura entre o óleo e a superfície interna do poliuretano ocorre nas resistências R_{hi}+R_{s,inner}. Assim, se q' é o fluxo por metro,
q'=\frac{T_i-T_{\infty,o}}{R_{\text{total}}}
e
T_{\text{pol,inn}}=T_i-q'\left(R_{hi}+R_{s,inner}\right).
Substituindo q' obtemos
T_{\text{pol,inn}}=T_i-\frac{T_i-T_{\infty,o}}{R_{\text{total}}}\left(R_{hi}+R_{s,inner}\right).
Isolando T_i com a condição T_{\text{pol,inn}}=70^\circ\mathrm{C}:
T_i=\frac{T_{\text{pol,inn}}-\dfrac{R_{hi}+R_{s,inner}}{R_{\text{total}}}\,T_{\infty,o}}{1-\dfrac{R_{hi}+R_{s,inner}}{R_{\text{total}}}}.

Passo 6

Cálculo numérico (caso a):
  • Calcular coeficiente a=\dfrac{R_{hi}+R_{s,inner}}{R_{\text{total}}}:
R_{hi}+R_{s,inner}\approx 0,005285\quad\Rightarrow\quad a\approx\frac{0,005285}{0,826553}\approx 0,006395.
  • Aplicando a fórmula com T_{\text{pol,inn}}=70^\circ\mathrm{C} e T_{\infty,o}=-5^\circ\mathrm{C}:
T_i=\frac{70-\;0,006395\cdot(-5)}{1-0,006395}\approx\frac{70+0,03198}{0,993605}\approx70,45^\circ\mathrm{C}.
Portanto, sem aerogel a temperatura máxima admissível do petróleo é aproximadamente 70,45^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Cálculo das resistências (caso b) — com camada de aerogel de t_{aq}=5\\ \mathrm{mm}.
Geometria modificada:
  • a camada de aerogel fica entre o tubo interno (raio r_2=0,085\\ \mathrm{m}) e o poliuretano; assim a nova interface (raio entre aerogel e poliuretano) é r_{2a}=r_2+t_{aq}=0,085+0,005=0,090\\ \mathrm{m}.
  • então o poliuretano agora ocupa de r_{2a}=0,090\\ \mathrm{m} até r_3=0,125\\ \mathrm{m}.
Resistências:
  1. resistência da aerogel (entre r_2 e r_{2a}):
R_{aq}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2a}}{r_2}\right)}{2\pi k_{aq}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,090}{0,085}\right)}{2\pi\cdot0,012}.
Cálculo numérico:
R_{aq}\approx 0,7586\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. resistência do poliuretano reduzida (entre r_{2a} e r_3):
R_{p,new}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_{2a}}\right)}{2\pi k_p}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0,125}{0,090}\right)}{2\pi\cdot0,075}.
Cálculo numérico:
R_{p,new}\approx 0,6971\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  1. as demais resistências (convecção interna, aço interno, aço externo, convecção externa) permanecem praticamente as mesmas:
R_{hi}\approx 0,004716,\quad R_{s,inner}\approx 0,000569,\quad R_{s,outer}\approx0,000350,\quad R_{ho}\approx0,002357.
  1. novo R_{\text{total,new}}:
R_{\text{total,new}}=R_{hi}+R_{s,inner}+R_{aq}+R_{p,new}+R_{s,outer}+R_{ho}\approx1,463693\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.

Passo 8

Relação entre T_i e a temperatura interna do poliuretano (com aerogel).
  • Agora a superfície interna do poliuretano fica depois da resistência do aerogel; portanto a queda entre o óleo e essa superfície passa por R_{hi}+R_{s,inner}+R_{aq}.
  • Analogamente ao caso anterior:
T_{\text{pol,inn}}=T_i-\frac{T_i-T_{\infty,o}}{R_{\text{total,new}}}\left(R_{hi}+R_{s,inner}+R_{aq}\right).
Isolando T_i com T_{\text{pol,inn}}=70^\circ\mathrm{C} obtemos a fórmula correspondente.

Passo 9

Cálculo numérico (caso b):
  • soma das resistências entre óleo e superfície interna do poliuretano:
R_{\text{in\_to\_pol}}=R_{hi}+R_{s,inner}+R_{aq}\approx 0,004716+0,000569+0,7586\approx0,763885\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
  • coeficiente a_{new}=\dfrac{R_{\text{in\_to\_pol}}}{R_{\text{total,new}}}\approx\dfrac{0,763885}{1,463693}\approx0,5219.
  • aplicação da fórmula:
T_i=\frac{70-0,5219\cdot(-5)}{1-0,5219}=\frac{70+2,6095}{0,4781}\approx151,86^\circ\mathrm{C}.
Portanto, com a camada de aerogel de 5\\ \mathrm{mm} a temperatura máxima admissível do petróleo é aproximadamente 151,86^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Interpretação curta e incentivo (rápida): a grande diferença entre (a) e (b) mostra que o aerogel aumenta fortemente a resistência térmica próxima ao fluido quente, permitindo que o óleo esteja muito mais quente sem levar o poliuretano acima de 70^\circ\mathrm{C}. Isso é esperado porque o aerogel tem condutividade extremamente baixa. Segue a resposta final.

Resposta

(a) T_{i,\max}\approx 70,45^\circ\mathrm{C}
(b) T_{i,\max}\approx 151,86^\circ\mathrm{C}

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