3.2 Considere uma parede composta de dimensões 2,5 \mathrm{~m} \times 6,5 \mathrm{~m} contendo 10 montantes verticais, cada um com 2,5 \mathrm{~m} de altura. A parede é formada por múltiplas camadas, incluindo revestimento externo de madeira ( k_{A}=0,094 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ), madeira estrutural ( k_{B}=0,16 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ), gesso ( k_{C}= 0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) e isolamento de fibra de vidro ( k_{D}=0,038 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ). As espessuras são L_{A}=8 \mathrm{~mm}, L_{B}=L_{D}=130 \mathrm{~mm} e L_{C}=12 \mathrm{~mm}. Admitindo regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes, superfícies adiabáticas paralelas à direção de transferência de calor e desprezando resistências de contato. determine a resistência térmica total da parede.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a resistência térmica total da parede (valor final mostrado na seção de resposta).
Informações fornecidas (peguei alguns dados da figura enviada):
  • Dimensões da parede: 2,5\\ \mathrm{m}\times6,5\\ \mathrm{m}.
  • Número de montantes (studs): 10 montantes verticais, cada um com 2,5\\ \mathrm{m} de altura.
  • Condutividades térmicas:
    • Revestimento externo de madeira (A): k_A=0,094\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Madeira estrutural (B): k_B=0,16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Gesso / gypsum (C): k_C=0,17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Isolamento de fibra de vidro (D): k_D=0,038\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessuras (peguei da figura e do enunciado):
    • L_A=8\\ \mathrm{mm}=0,008\\ \mathrm{m}.
    • L_B=130\\ \mathrm{mm}=0,13\\ \mathrm{m}.
    • L_D=130\\ \mathrm{mm}=0,13\\ \mathrm{m}.
    • L_C=12\\ \mathrm{mm}=0,012\\ \mathrm{m}.
  • Geometria repetitiva (peguei da figura):
    • Distância repetitiva (largura do módulo): 0{,}65\\ \mathrm{m}.
    • Largura do montante de madeira (stud): 40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m}.
    • Logo, largura ocupada por isolamento no módulo: 0{,}65-0{,}04=0{,}61\\ \mathrm{m}.
O enunciado assume regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes, superfícies adiabáticas paralelas, e despreza resistências de contato. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Estratégia e fórmulas básicas (aula rápida):
  • Para uma camada plana homogênea, a resistência térmica por unidade de área (às vezes chamada de valor R por unidade de área) é
R_{\text{camada}}=\frac{L}{k},
onde L é a espessura da camada ( \mathrm{m}) e k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). A unidade de R_{\text{camada}} é \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Quando camadas estão em série (calor atravessa uma após a outra sobre a mesma área), somam-se as resistências:
R_{\text{série}}=\sum R_{\text{camada}}.é
  • Quando houver caminhos paralelos (por exemplo, parte da parede tem madeira estrutural no núcleo e outra parte tem isolamento), então devemos calcular a condutância térmica (coeficiente global U) de cada caminho e fazer média ponderada por áreas. Para cada caminho:
U_{\text{caminho}}=\frac{1}{R_{\text{caminho}}},
e a condutância global da parede é a média ponderada pelas áreas:
U_{\text{global}}=\frac{1}{A_{\text{total}}}\sum_i U_i\,A_i.
Como as variações ocorrem apenas na direção horizontal por módulo repetido, podemos usar frações de área (larguras) em vez de calcular todas as áreas. Se f_i é a fração da área ocupada pelo caminho i, então
U_{\text{global}}=\sum_i f_i\,U_i,
e a resistência térmica total por unidade de área é
R_{\text{total}}=\frac{1}{U_{\text{global}}}.
  • Observação prática: aqui existem dois caminhos em paralelo ao atravessar a parede (pelo isolamento entre montantes, e pelos montantes de madeira). As camadas externas (A e C) estão sobre toda a parede, portanto aparecem em série em ambos os caminhos.

Passo 3

Calcular as resistências das camadas individuais (por unidade de área):
  • Para A (madeira externa):
R_A=\frac{L_A}{k_A}=\frac{0,008}{0,094} \approx 0{,}085106383\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Para B (madeira estrutural, montante):
R_B=\frac{L_B}{k_B}=\frac{0,13}{0,16}=0{,}8125\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Para D (isolamento fibra de vidro):
R_D=\frac{L_D}{k_D}=\frac{0,13}{0,038}\approx 3{,}421052632\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Para C (gesso / gypsum):
R_C=\frac{L_C}{k_C}=\frac{0,012}{0,17}\approx 0{,}070588235\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
Expliquei cada conta: peguei as espessuras em metros e dividi pela condutividade correspondente, dando resistências por unidade de área.

Passo 4

Montar as resistências dos dois caminhos (soma em série das camadas que compõem cada caminho):
  • Caminho através do isolamento (entre montantes): camadas A (externa), D (isolamento), C (gesso). Então
R_{\text{isolamento}}=R_A+R_D+R_C
R_{\text{isolamento}}\approx 0{,}085106383+3{,}421052632+0{,}070588235\approx 3{,}57674725\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Caminho através do montante de madeira: camadas A, B, C. Então
R_{\text{madeira}}=R_A+R_B+R_C
R_{\text{madeira}}\approx 0{,}085106383+0{,}8125+0{,}070588235\approx 0{,}968194618\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.

Passo 5

Calcular as condutâncias de cada caminho (recíproco das resistências):
  • Para o caminho do isolamento:
U_{\text{isolamento}}=\frac{1}{R_{\text{isolamento}}}\approx\frac{1}{3{,}57674725}\approx 0{,}279534666\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Para o caminho da madeira:
U_{\text{madeira}}=\frac{1}{R_{\text{madeira}}}\approx\frac{1}{0{,}968194618}\approx 1{,}032789439\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Determinar as frações de área ocupadas por cada caminho (usei a informação da figura sobre o módulo de largura 0{,}65\\ \mathrm{m} e a largura do montante 0{,}04\\ \mathrm{m}):
  • Fração ocupada pelos montantes (madeira):
f_{\text{madeira}}=\frac{0{,}04}{0{,}65}=\frac{4}{65}\approx 0{,}0615384615.
  • Fração ocupada pelo isolamento (entre montantes):
f_{\text{isolamento}}=\frac{0{,}61}{0{,}65}=\frac{61}{65}\approx 0{,}9384615385.
Essas frações somam 1 e representam a divisão da área da parede em caminhos paralelos.

Passo 7

Calcular a condutância global por unidade de área ( U_{\text{global}}) e, em seguida, a resistência total por unidade de área R_{\text{total}}:
  • Primeiro U_{\text{global}} pela média ponderada:
U_{\text{global}}=f_{\text{isolamento}}\,U_{\text{isolamento}}+f_{\text{madeira}}\,U_{\text{madeira}}.
Substituindo os números:
U_{\text{global}}\approx 0{,}9384615385\times0{,}279534666+0{,}0615384615\times1{,}032789439\approx 0{,}325889573.
  • Finalmente a resistência térmica total por unidade de área:
R_{\text{total}}=\frac{1}{U_{\text{global}}}\approx\frac{1}{0{,}325889573}\approx 3{,}068158\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
Interpretação prática: esse valor é a resistência térmica equivalente por metro quadrado da parede (unidade \mathrm{m^2\cdot K/W}). Se desejar a resistência térmica da parede inteira como um único resistor entre ambientes, dividir-se-ia este valor pela área total da parede; normalmente, entretanto, em projetos se usa o valor por unidade de área (R-value).

Passo 8

Pequeno reforço para a prova (resumo didático curto e dica):
  • Passos rápidos para resolver problema similar na prova:
    1. Identificar se há caminhos paralelos (montante vs isolamento).
    2. Calcular R=L/k para cada camada (usar metros e W/(m·K)).
    3. Somar em série as camadas de cada caminho.
    4. Fazer média ponderada das condutâncias ( U=1/R) pelas frações de área.
    5. Inverter U_{\text{global}} para obter R_{\text{total}}.
  • Dica: trabalhar sempre com unidades consistentes (m, W, K) e construir um “molde” (módulo) quando a parede é repetitiva como aqui.

Resposta

R_{\text{total}}\approx 3{,}07\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}

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