Considere um tanque esférico de raio de 4 m completamente cheio de água. Suponha que o tanque esteja sendo drenado por uma válvula reguladora de saída de modo que a altura da água no tanque sempre diminua a uma taxa de 0.5 metros por minuto. Seja
o volume de água no tanque (em metros cúbicos) em um determinado momento
(em minutos), e
a profundidade da água (em metros) no mesmo tempo. Pode ser demonstrado usando Cálculo que
é uma função de
de acordo com o modelo
a. Qual é a altura da água quando
? Quando
? Quando
? Quanto tempo levará o tanque para drenar completamente? Por quê?
Passo 1
O enunciado trata de um tanque esférico de raio 4 m, cheio inicialmente com altura de água igual ao diâmetro (8 m), que está drenando a uma taxa constante de 0,5 m/min (ou seja,
). Temos também o modelo do volume
. Vamos precisar relacionar a taxa de variação da altura com o volume e usar condição inicial.
Passo 2
Como sabemos que
, podemos integrar essa relação para obter
. Integramos:
integremos em relação a
$$
h(t) = -0.5,t + C
h(t) = 8 - 0.5,t$$
Passo 3
Agora avaliamos essa função nos instantes dados:
- Em
: m. - Em
: m. - Em
: m.
Passo 4
Para saber quando o tanque vai drenar completamente, basta achar
tal que
:
Resolvendo, obtemos
minutos.
Passo 5
Podemos ainda confirmar que para
o volume dado por
zera:
Assim, o tanque está vazio em
minutos.
Resposta
h(0)=8 m, h(1)=7.5 m, h(2)=7 m; o tanque drena completamente em 16 minutos.