Considere um tanque esférico de raio de 4 m completamente cheio de água. Suponha que o tanque esteja sendo drenado por uma válvula reguladora de saída de modo que a altura da água no tanque sempre diminua a uma taxa de 0.5 metros por minuto. Seja V o volume de água no tanque (em metros cúbicos) em um determinado momento t (em minutos), e h a profundidade da água (em metros) no mesmo tempo. Pode ser demonstrado usando Cálculo que V é uma função de t de acordo com o modelo
V=p(t)=256 pi3-pi24 t^2(24-t)
a. Qual é a altura da água quando t=0 ? Quando t=1 ? Quando t=2 ? Quanto tempo levará o tanque para drenar completamente? Por quê?

Passo 1

O enunciado trata de um tanque esférico de raio 4 m, cheio inicialmente com altura de água igual ao diâmetro (8 m), que está drenando a uma taxa constante de 0,5 m/min (ou seja, dh/dt = -0.5). Temos também o modelo do volume V = p(t) = tfrac256pi3 - tfracpi24t^2(24 - t). Vamos precisar relacionar a taxa de variação da altura com o volume e usar condição inicial.

Passo 2

Como sabemos que dh/dt = -0.5, podemos integrar essa relação para obter h(t). Integramos:
dhdt = -0.5
integremos em relação a t:
$$
h(t) = -0.5,t + C h(t) = -0.5,t + Cçãá
h(t) = 8 - 0.5,t$$

Passo 3

Agora avaliamos essa função nos instantes dados:
  • Em t=0: h(0) = 8 - 0.5cdot0 = 8 m.
  • Em t=1: h(1) = 8 - 0.5cdot1 = 7.5 m.
  • Em t=2: h(2) = 8 - 0.5cdot2 = 7 m.

Passo 4

Para saber quando o tanque vai drenar completamente, basta achar t tal que h(t)=0:
8 - 0.5,t = 0
Resolvendo, obtemos t = 16 minutos.

Passo 5

Podemos ainda confirmar que para t=16 o volume dado por p(t) zera:
p(16) = 256pi3 - pi24,16^2(24 - 16) = 256pi3 - pi24cdot256cdot8 = 0
Assim, o tanque está vazio em t=16 minutos.

Resposta

h(0)=8 m, h(1)=7.5 m, h(2)=7 m; o tanque drena completamente em 16 minutos.

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