Determine e esboce o domínio da função f(x, y)=x yx^2+2 y.
(x, y) in R^2 mid x^2+2 y>0,2 x y>1

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função de duas variáveis f(x,y)=xyx^2+2y. O conteúdo principal é encontrar restrição de domínio devido ao denominador e depois desenhar a região resultante.

Passo 2

Para funções de duas variáveis do tipo numeradordenominador, a única restrição de domínio vem de exigir que o denominador seja diferente de zero. Aqui o denominador é x^2+2y, logo devemos ter
x^2+2yneq0

Passo 3

Isolando y nessa desigualdade, vemos que
yneq -x^22, ou seja, a curva proibida no plano (x,y) é a parábola
y=-tfracx^22

Passo 4

Portanto o domínio de f é todo o R^2 exceto essa parábola. Ao esboçar, basta desenhar a parábola de vértice na origem, voltada para baixo, e sombrear ambos os lados (acima e abaixo), mostrando que só a própria curva está excluída.

Resposta

O domínio de f é
D=(x,y)inR^2: x^2+2yneq0,
ou seja, todo o plano exceto a parábola y=-x^2/2. No esboço, desenhe essa parábola e indique que ambos os lados dela fazem parte do domínio, excluindo apenas a própria curva.

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