Considere um tanque na forma de um cone circular invertido (ponta para baixo) onde o raio do tanque é de 2 metros e sua profundidade é de 4 metros. Suponha que o tanque esteja sendo enchido com água que entra a uma taxa constante de 0.75 metros cúbicos por minuto.
Quais são algumas quantidades que estão mudando nesse cenário? Quais são algumas quantidades que não estão mudando?

Passo 1

Temos um tanque cônico invertido com raio do topo fixo de 2 m e profundidade de 4 m. A água entra a uma taxa constante de 0.75 m³/min. Este é um problema de taxas de variação relacionadas: vamos identificar quais quantidades dependem do tempo e quais são constantes.

Passo 2

As quantidades que variam ao encher o tanque são: o volume de água V(t) (já que dV/dt = 0.75 m³/min), a altura da lâmina de água h(t), o raio da superfície livre r(t) (pela semelhança de triângulos r/h = R/H) e a área da superfície livre A(t) = π [r(t)]².

Passo 3

As grandezas que permanecem constantes são: o raio total do tanque R = 2 m, a profundidade total H = 4 m, a forma geométrica (o cone invertido), a densidade da água e a própria taxa de entrada de água dV/dt, que é dada como constante.

Resposta

Quantidades que mudam: volume V(t), altura da água h(t), raio da superfície livre r(t) e área da superfície livre A(t).
Quantidades que não mudam: raio total do tanque (2 m), profundidade total (4 m), forma do cone, densidade da água e a taxa de entrada dV/dt (0.75 m³/min).

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