Considere um tanque na forma de um cone circular invertido (ponta para baixo) onde o raio do tanque é de 2 metros e sua profundidade é de 4 metros. Suponha que o tanque esteja sendo enchido com água que entra a uma taxa constante de 0.75 metros cúbicos por minuto.
Quais são algumas quantidades que estão mudando nesse cenário? Quais são algumas quantidades que não estão mudando?
Quais são algumas quantidades que estão mudando nesse cenário? Quais são algumas quantidades que não estão mudando?
Passo 1
Temos um tanque cônico invertido com raio do topo fixo de 2 m e profundidade de 4 m. A água entra a uma taxa constante de 0.75 m³/min. Este é um problema de taxas de variação relacionadas: vamos identificar quais quantidades dependem do tempo e quais são constantes.
Passo 2
As quantidades que variam ao encher o tanque são: o volume de água V(t) (já que dV/dt = 0.75 m³/min), a altura da lâmina de água h(t), o raio da superfície livre r(t) (pela semelhança de triângulos r/h = R/H) e a área da superfície livre A(t) = π [r(t)]².
Passo 3
As grandezas que permanecem constantes são: o raio total do tanque R = 2 m, a profundidade total H = 4 m, a forma geométrica (o cone invertido), a densidade da água e a própria taxa de entrada de água dV/dt, que é dada como constante.
Resposta
Quantidades que mudam: volume V(t), altura da água h(t), raio da superfície livre r(t) e área da superfície livre A(t).
Quantidades que não mudam: raio total do tanque (2 m), profundidade total (4 m), forma do cone, densidade da água e a taxa de entrada dV/dt (0.75 m³/min).