Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que
  • f^prime(0)=f^prime(4)=0,
  • f^prime(x) neq 0 para todo x in(0,4),
  • f^prime(x)>0 para todo x>4,
    Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função f satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função f nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função f nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
    Se f possui uma raiz em (0,4), então terá uma raiz em (4,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. A função tem algumas condições específicas sobre a sua derivada:
  • A derivada em 0 e em 4 é zero: $ f’(0) = f’(4) = 0 $.
  • Entre 0 e 4, a derivada nunca é zero: $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0, 4) $.
  • Para todo $ x > 4 $, a derivada é positiva: $ f’(x) > 0 $.
Com base nessas condições, precisamos classificar a seguinte afirmação:
“Se $ f $ possui uma raiz em $ (0,4) $, então terá uma raiz em $ (4,+\infty) $”
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada condição dada:
  1. Derivada em 0 e 4 é zero: Isso nos indica possíveis pontos de máximo ou mínimo na função nesses pontos.
  2. Derivada nunca é zero entre 0 e 4: Significa que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo, sem pontos de inflexão.
  3. Derivada positiva para $ x > 4 $: A função está sempre aumentando após 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação:
“Se $ f $ possui uma raiz em $ (0,4) $, então terá uma raiz em $ (4,+\infty) $”
Queremos saber se isso é sempre verdadeiro, nunca verdadeiro ou pode ser verdadeiro dependendo da função.

Passo 4

Vamos considerar que $ f $ tem uma raiz em $ (0,4) $. Isso significa que existe algum $ c \in (0,4) $ tal que $ f© = 0 $.
Como $ f $ é contínua e diferenciável, e sua derivada não é zero em $ (0,4) $, a função é estritamente crescente ou decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Além disso, sabemos que para $ x > 4 $, a derivada é positiva, então $ f $ está sempre aumentando nessa região.
Isso implica que se $ f $ tiver valor zero em algum ponto após 4, ele pode cruzar o eixo x novamente. Mas isso não é garantido; depende do comportamento específico da função.

Passo 6

Por exemplo, imagine uma função que cruza o eixo x uma vez em $ (0,4) $ e depois continua aumentando indefinidamente após 4. Nesse caso, não haverá outra raiz em $ (4,+\infty) $.
Por outro lado, outra função poderia cruzar o eixo x novamente após 4, dependendo de como ela se comporta.

Passo 7

Portanto, a afirmação não é necessariamente sempre verdadeira nem necessariamente falsa. Ela pode ser verdadeira para algumas funções que satisfazem as condições dadas e falsa para outras.

Resposta

A afirmação pode ser verdadeira.

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