Seja
derivável em
, tal que
-
,
-
para todo
,
-
para todo
,
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
satisfazendo as condições), necessariamente falsa (nunca acontece, qualquer que seja a função
nas condições acima) ou pode ser verdadeira (é verdadeiro para alguma função
nas condições acima, mas falso para alguma outra nas mesmas condições):
Se
possui uma raiz em
, então terá uma raiz em
Classifique cada afirmação abaixo em necessariamente verdadeira (sempre acontecerá para qualquer função
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável em todos os números reais. A função tem algumas condições específicas sobre a sua derivada:
- A derivada em 0 e em 4 é zero: $ f’(0) = f’(4) = 0 $.
- Entre 0 e 4, a derivada nunca é zero: $ f’(x) \neq 0 $ para todo $ x \in (0, 4) $.
- Para todo $ x > 4 $, a derivada é positiva: $ f’(x) > 0 $.
Com base nessas condições, precisamos classificar a seguinte afirmação:
“Se $ f $ possui uma raiz em $ (0,4) $, então terá uma raiz em $ (4,+\infty) $”
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada condição dada:
- Derivada em 0 e 4 é zero: Isso nos indica possíveis pontos de máximo ou mínimo na função nesses pontos.
- Derivada nunca é zero entre 0 e 4: Significa que a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo, sem pontos de inflexão.
- Derivada positiva para $ x > 4 $: A função está sempre aumentando após 4.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação:
“Se $ f $ possui uma raiz em $ (0,4) $, então terá uma raiz em $ (4,+\infty) $”
Queremos saber se isso é sempre verdadeiro, nunca verdadeiro ou pode ser verdadeiro dependendo da função.
Passo 4
Vamos considerar que $ f $ tem uma raiz em $ (0,4) $. Isso significa que existe algum $ c \in (0,4) $ tal que $ f© = 0 $.
Como $ f $ é contínua e diferenciável, e sua derivada não é zero em $ (0,4) $, a função é estritamente crescente ou decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Além disso, sabemos que para $ x > 4 $, a derivada é positiva, então $ f $ está sempre aumentando nessa região.
Isso implica que se $ f $ tiver valor zero em algum ponto após 4, ele pode cruzar o eixo x novamente. Mas isso não é garantido; depende do comportamento específico da função.
Passo 6
Por exemplo, imagine uma função que cruza o eixo x uma vez em $ (0,4) $ e depois continua aumentando indefinidamente após 4. Nesse caso, não haverá outra raiz em $ (4,+\infty) $.
Por outro lado, outra função poderia cruzar o eixo x novamente após 4, dependendo de como ela se comporta.
Passo 7
Portanto, a afirmação não é necessariamente sempre verdadeira nem necessariamente falsa. Ela pode ser verdadeira para algumas funções que satisfazem as condições dadas e falsa para outras.
Resposta
A afirmação pode ser verdadeira.