Considere um tanque muito profundo, aberto, preenchido com um liquido cuja densidade varia de acordo com a função
.
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm, estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade
. Adote
, e dề sua resposta em bar, com 3 casas decimais.
Resposta:
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm, estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a pressão total dentro do tanque na profundidade
. Informações dadas:
- Densidade variável:
, onde é a profundidade medida a partir da superfície livre. - Pressão atmosférica local:
. - Aceleração da gravidade:
. - Profundidade de interesse:
.
O que se pede: pressão total (ou seja, pressão atmosférica + pressão hidrostática) na profundidade indicada, expressa em bar com 3 casas decimais.
Passo 2
Entendendo o que contribui para a pressão total: a pressão numa profundidade
é a soma da pressão atmosférica na superfície e da pressão hidrostática gerada pelo peso do fluido acima dessa profundidade. Matematicamente:
onde
Explicação do porquê: cada camada infinitesimal de espessura
com densidade
exerce sobre a área abaixo um peso
por unidade de área; somando (integrando) essas contribuições desde a superfície (
) até
obtemos a pressão hidrostática.
Passo 3
Vamos deixar todas as quantidades em unidades SI (nós precisamos de
em
,
em
,
em
, e pressão em Pa), para então converter para bar. Conversões necessárias:
-
. - Para a segunda constante,
(porque e , então ).
Aplicando isso à função dada:
converte-se para SI como
ou seja
onde agora
está em metros.
Passo 4
Converta a profundidade para metros:
Passo 5
Calcule a pressão hidrostática pela integral. Como
com
e
, temos:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a densidade na superfície ( ), -
ajusta o crescimento quadrático da densidade ( ), -
é a profundidade ( ).
Passo 6
Agora substituímos os valores e calculamos passo a passo:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Calcule
:
Somando os termos dentro dos colchetes:
Passo 7
Multiplique por
para obter
:
Passo 8
Some a pressão atmosférica. Usamos o valor padrão
Assim a pressão total em Pa é
Passo 9
Converta para bar. Como
,
Arredondando para 3 casas decimais: