Considere um tanque muito profundo, aberto, preenchido com um liquido cuja densidade varia de acordo com a função \rho(\mathrm{h})=\left(1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right)+\left(0,002 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{5}\right) \mathrm{h}^{2}.
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm, estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade 115,2 \mathrm{~cm}. Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e dề sua resposta em bar, com 3 casas decimais.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a pressão total dentro do tanque na profundidade 115,2\\ \text{cm}. Informações dadas:
  • Densidade variável: \rho(\mathrm{h})=\left(1,2\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}\right)+\left(0,002\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{5}\right)\mathrm{h}^{2}, onde \mathrm{h} é a profundidade medida a partir da superfície livre.
  • Pressão atmosférica local: 1\\ \text{atm}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Profundidade de interesse: \mathrm{h}=115,2\\ \text{cm}.
    O que se pede: pressão total (ou seja, pressão atmosférica + pressão hidrostática) na profundidade indicada, expressa em bar com 3 casas decimais.

Passo 2

Entendendo o que contribui para a pressão total: a pressão numa profundidade H é a soma da pressão atmosférica na superfície e da pressão hidrostática gerada pelo peso do fluido acima dessa profundidade. Matematicamente:
P_{\text{total}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{hidro}}
onde
P_{\text{hidro}} = \int_{0}^{H} \rho(h)\, g\, dh.
Explicação do porquê: cada camada infinitesimal de espessura dh com densidade \rho(h) exerce sobre a área abaixo um peso \rho(h)\, dh \cdot g por unidade de área; somando (integrando) essas contribuições desde a superfície ( h=0) até h=H obtemos a pressão hidrostática.

Passo 3

Vamos deixar todas as quantidades em unidades SI (nós precisamos de \rho em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, h em \mathrm{m}, g em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, e pressão em Pa), para então converter para bar. Conversões necessárias:
  • 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Para a segunda constante, 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{5} = 10^{7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{5} (porque 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{cm}^{5}=10^{-10}\\ \mathrm{m}^{5}, então \tfrac{10^{-3}}{10^{-10}}=10^{7}).
    Aplicando isso à função dada:
\rho(h) = 1,2\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}} + 0,002\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{5}}\,h^{2}
converte-se para SI como
\rho(h)=1200\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} + 0,002\cdot 10^{7}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{5}}\,h^{2}
ou seja
\rho(h)=1200\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} + 20000\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{5}}\,h^{2},
onde agora h está em metros.

Passo 4

Converta a profundidade para metros:
H = 115,2\\ \text{cm} = 1,152\\ \text{m}.

Passo 5

Calcule a pressão hidrostática pela integral. Como \rho(h)=a+b h^{2} com a=1200\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} e b=20000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{5}, temos:
P_{\text{hidro}} = g\int_{0}^{H} (a + b h^{2})\, dh = g\left[aH + b\frac{H^{3}}{3}\right].
Aqui cada símbolo significa:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}),
  • a é a densidade na superfície ( 1200\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • b ajusta o crescimento quadrático da densidade ( 20000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{5}),
  • H é a profundidade ( 1,152\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Agora substituímos os valores e calculamos passo a passo:
Calcule aH:
aH = 1200 \times 1,152 = 1382,4.
Calcule H^{3}:
H^{3} = (1,152)^{3} = 1,528823808\\ (\text{m}^{3}).
Calcule b \frac{H^{3}}{3}:
\frac{H^{3}}{3}=0,509607936,
b\frac{H^{3}}{3}=20000\times 0,509607936 = 10192,15872.
Somando os termos dentro dos colchetes:
aH + b\frac{H^{3}}{3} = 1382,4 + 10192,15872 = 11574,55872.

Passo 7

Multiplique por g para obter P_{\text{hidro}}:
P_{\text{hidro}} = 9,8 \times 11574,55872 = 113430,675456\\ \text{Pa}.

Passo 8

Some a pressão atmosférica. Usamos o valor padrão
P_{\text{atm}} = 1\\ \text{atm} = 101325\\ \text{Pa}.
Assim a pressão total em Pa é
P_{\text{total}} = P_{\text{atm}} + P_{\text{hidro}} = 101325 + 113430,675456 = 214755,675456\\ \text{Pa}.

Passo 9

Converta para bar. Como 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa},
P_{\text{total}} = \frac{214755,675456}{10^{5}} = 2,14755675456\\ \text{bar}.
Arredondando para 3 casas decimais:
P_{\text{total}}\approx 2,148\\ \text{bar}.

Resposta

2,148\\ \text{bar}

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