Um objeto de densidade p_{1} é totaimente imerso em um liquido de densidade p_{0}, distante incialmente 192,1 \mathrm{~cm} da superficie inferior do tanque preenchido por este liquido.
Se a razão entre as densidade p_{0} / p_{1}=0.93, calcule em quanto tempo 0 objeto toca a superficie inferior do tanque.
Adote a gravidade local como 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e despreze qualquer força dissipativa.
** resposta em segundos, com 3 casas decimais.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações dadas:
  • A distância inicial entre o objeto (totalmente imerso) e a superfície inferior do tanque é 192,1\\ \mathrm{cm}.
  • A razão entre as densidades é \displaystyle \frac{p_{0}}{p_{1}}=0,93, onde p_{0} é a densidade do líquido e p_{1} a do objeto.
  • A gravidade local vale 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Desprezamos forças dissipativas (sem resistência do fluido) e o objeto está totalmente imerso.
    Pergunta: calcular em quanto tempo o objeto toca a superfície inferior do tanque (em segundos), com 3 casas decimais.

Passo 2

Entendendo as forças que atuam no objeto (aula rápida de física útil para a prova).
  • O peso do objeto (força para baixo) é a massa vezes a gravidade. Se V é o volume do objeto e p_{1} sua densidade, a massa é m=p_{1}V. Então o peso é
W = m g = p_{1} V g.
Expliquei o que é cada símbolo: p_{1} densidade do objeto, V volume do objeto, g aceleração da gravidade.
  • A força de empuxo (para cima), pelo princípio de Arquimedes, é igual ao peso do fluido deslocado: com densidade do fluido p_{0},
B = p_{0} V g.
  • A força resultante para baixo (já que o objeto é mais denso que o líquido, veremos isso) é a diferença entre peso e empuxo:
F_{\text{res}} = W - B = (p_{1}-p_{0}) V g.
  • A aceleração do objeto é a força resultante dividida pela massa m=p_{1}V. Note que o volume V cancela, então não precisamos conhecê-lo:
a = \frac{F_{\text{res}}}{m}=\frac{(p_{1}-p_{0})Vg}{p_{1}V}=\biggl(1-\frac{p_{0}}{p_{1}}\biggr) g.
Isto é importante: a aceleração não depende do volume nem da massa explicitamente, apenas da razão entre densidades e da gravidade. Na prova você pode usar esse resultado direto quando o objeto está totalmente imerso.

Passo 3

Calculemos a aceleração numérica usando a razão dada \displaystyle \frac{p_{0}}{p_{1}}=0,93.
  • Primeiro compute 1-\dfrac{p_{0}}{p_{1}} = 1-0,93 = 0,07.
  • Então
a = 0,07\cdot 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0,686\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Expliquei: a é a aceleração para baixo do objeto; usamos vírgula decimal para manter o formato pedido.

Passo 4

Converta a distância para o mesmo sistema de unidades (SI).
  • A distância dada é 192,1\\ \mathrm{cm}. Como 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}, temos
s = 192,1\\ \mathrm{cm} = 1,921\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Escolha e explique a equação do movimento que vamos usar.
  • O enunciado e as hipóteses (sem resistências, aceleração constante, objeto solto do repouso) nos permitem usar as equações do MRUA (movimento retilíneo uniformemente acelerado).
  • Se o objeto parte do repouso, a velocidade inicial é v_{0}=0. A equação que liga deslocamento s, aceleração a e tempo t é
s = v_{0}t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Com v_{0}=0 isso vira a fórmula famosa
s = \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Breve justificativa: essa fórmula vem da integração da aceleração constante para obter velocidade e depois integrar velocidade para obter posição — mas na prova é aceitável lembrar essa relação diretamente.

Passo 6

Isolando o tempo e substituindo os números.
  • Da equação s=\tfrac{1}{2} a t^{2} isolamos t:
t = \sqrt{\frac{2s}{a}}.
  • Substituindo s=1,921\\ \mathrm{m} e a=0,686\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
t = \sqrt{\frac{2\cdot 1,921}{0,686}} = \sqrt{\frac{3,842}{0,686}}.
  • Faço a divisão (mostrando passo a passo): \dfrac{3,842}{0,686}\approx 5,600584.
  • Agora a raiz quadrada:
t \approx \sqrt{5,600584}\approx 2,366387\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando para três casas decimais (como pedido), obtemos t=2,366\\ \mathrm{s}.

Resposta

2,366\\ \mathrm{s}

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