Modelo de Bohr para o Átomo - (2,0 pts.)
Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido por um átomo de He, uma vez ionizado, ao fazer a transiçāo de um estado excitado com n=4 para o primeiro estado excitado? \square
\hbar=\frac{h}{2 n}
E_{n}=-\frac{m Z^{2} e^{4}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} 2 \hbar^{2}} \frac{1}{n^{2}} \quad n=1,2,3, \cdots

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda do fóton emitido quando um átomo de hélio ionizado faz a transição do estado com n=4 para o “primeiro estado excitado”. As informações relevantes do enunciado são:
  • A fórmula fornecida para os níveis de energia é
E_{n}=-\frac{m Z^{2} e^{4}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} 2 \hbar^{2}}\,\frac{1}{n^{2}},\quad n=1,2,3,\ldots
  • O átomo de hélio foi ionizado uma vez, ou seja, temos um íon \mathrm{He}^{+} com número atômico Z=2 (um elétron em torno do núcleo com carga +2e).
  • A transição é de n=4 (estado inicial) para o primeiro estado excitado. O primeiro estado excitado corresponde a n=2 (pois o estado fundamental é n=1, o primeiro excitado é n=2).
  • Precisamos encontrar o comprimento de onda \lambda do fóton emitido por essa transição.

Passo 2

Entender a fórmula dos níveis de energia e as constantes nela:
  • Na fórmula, E_{n} é a energia do nível com número quântico n (em joules, se usarmos unidades SI).
  • m é a massa do elétron ( m\equiv m_e).
  • Z é o número atômico do núcleo (para \mathrm{He}^{+}, Z=2).
  • e é a carga elementar.
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}).
    A forma dada é a expressão padrão do modelo de Bohr para átomos hidrogenoides (um elétron, carga nuclear +Ze) e mostra que E_n\propto -\dfrac{Z^2}{n^2}. Uma maneira prática de trabalhar com números é usar a energia de Rydberg (energia de ionização do hidrogênio no nível n=1):
E_{\mathrm{R}} = 13{,}605693\\ \text{eV},
de modo que, em elétron-volts,
E_n = -E_{\mathrm{R}}\,\frac{Z^2}{n^2}.
Isso é apenas a mesma fórmula escrita em eV, que facilita cálculos numéricos. Aqui vou usar essa forma para tornar a conta mais direta.

Passo 3

Calcular as energias dos níveis envolvidos (em eV), usando Z=2.
  • Para n=2:
E_2 = -E_{\mathrm{R}}\,\frac{Z^2}{2^2} = -13{,}605693\cdot\frac{2^2}{4} = -13{,}605693\\ \text{eV}.
(Observe que para Z=2 a fator Z^2/2^2 = 4/4=1.)
  • Para n=4:
E_4 = -E_{\mathrm{R}}\,\frac{Z^2}{4^2} = -13{,}605693\cdot\frac{4}{16} = -13{,}605693\cdot\frac{1}{4} = -3{,}40142325\\ \text{eV}.
Expliquei cada passo: multipliquei E_{\mathrm{R}} por Z^2/n^2 e apliquei Z=2, n=2 ou n=4.

Passo 4

Encontrar a energia do fóton emitido \Delta E. Para uma emissão, a energia do fóton é a diferença entre energia inicial e final:
\Delta E = E_{\text{inicial}} - E_{\text{final}} = E_4 - E_2.
Substituindo os valores:
\Delta E = \bigl(-3{,}40142325\bigr) - \bigl(-13{,}605693\bigr)\\ \text{eV} = 10{,}20426975\\ \text{eV}.
É positivo como esperado (energia liberada).

Passo 5

Relacionar \Delta E com o comprimento de onda \lambda. A energia do fóton em eV se relaciona com \lambda por
\Delta E\\ (\text{eV}) = \frac{hc}{\lambda}\quad\text{com }hc=1239{,}841984\\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Logo
\lambda = \frac{hc}{\Delta E}.
Substituindo os valores:
\lambda = \frac{1239{,}841984}{10{,}20426975}\\ \text{nm}.

Passo 6

Fazer a divisão numérica (mostrando a ideia de cálculo manual/mental): podemos usar uma relação prática também — para hidrogênio a transição 4\to2 tem \lambda_{H}\approx 486{,}27\\ \text{nm}; para um átomo hidrogenoide com carga Z as energias escalam com Z^2, portanto os comprimentos de onda escalam com 1/Z^2. Assim, para \mathrm{He}^{+} ( Z=2):
\lambda_{\mathrm{He}^{+}}=\frac{\lambda_{H}}{Z^{2}}=\frac{486{,}27}{4}\\ \text{nm}\approx 121{,}5675\\ \text{nm}.
Se preferir a conta direta da fração acima:
\lambda \approx \frac{1239{,}841984}{10{,}20426975}\\ \text{nm}\approx 121{,}57\\ \text{nm}.

Passo 7

Interpretação e unidades: o comprimento de onda obtido está na região ultravioleta do espectro (perto de 121{,}6\\ \text{nm}). Se quiser em metros, multiplica por 10^{-9}:
\lambda \approx 1{,}2157\times 10^{-7}\\ \text{m}.

Resposta

\lambda \approx 121{,}57\\ \text{nm}

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