Modelo de Bohr para o Átomo - (2,0 pts.)
Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido por um átomo de He, uma vez ionizado, ao fazer a transiçāo de um estado excitado com
para o primeiro estado excitado?
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de onda do fóton emitido quando um átomo de hélio ionizado faz a transição do estado com
para o “primeiro estado excitado”. As informações relevantes do enunciado são:
- A fórmula fornecida para os níveis de energia é
- O átomo de hélio foi ionizado uma vez, ou seja, temos um íon
com número atômico (um elétron em torno do núcleo com carga ). - A transição é de
(estado inicial) para o primeiro estado excitado. O primeiro estado excitado corresponde a (pois o estado fundamental é , o primeiro excitado é ). - Precisamos encontrar o comprimento de onda
do fóton emitido por essa transição.
Passo 2
Entender a fórmula dos níveis de energia e as constantes nela:
- Na fórmula,
é a energia do nível com número quântico (em joules, se usarmos unidades SI). -
é a massa do elétron ( ). -
é o número atômico do núcleo (para , ). -
é a carga elementar. -
é a permissividade do vácuo. -
é a constante de Planck reduzida ( ).
A forma dada é a expressão padrão do modelo de Bohr para átomos hidrogenoides (um elétron, carga nuclear) e mostra que . Uma maneira prática de trabalhar com números é usar a energia de Rydberg (energia de ionização do hidrogênio no nível ):
de modo que, em elétron-volts,
Isso é apenas a mesma fórmula escrita em eV, que facilita cálculos numéricos. Aqui vou usar essa forma para tornar a conta mais direta.
Passo 3
Calcular as energias dos níveis envolvidos (em eV), usando
.
- Para
:
(Observe que para
a fator
.)
- Para
:
Expliquei cada passo: multipliquei
por
e apliquei
,
ou
.
Passo 4
Encontrar a energia do fóton emitido
. Para uma emissão, a energia do fóton é a diferença entre energia inicial e final:
Substituindo os valores:
É positivo como esperado (energia liberada).
Passo 5
Relacionar
com o comprimento de onda
. A energia do fóton em eV se relaciona com
por
Logo
Substituindo os valores:
Passo 6
Fazer a divisão numérica (mostrando a ideia de cálculo manual/mental): podemos usar uma relação prática também — para hidrogênio a transição
tem
; para um átomo hidrogenoide com carga
as energias escalam com
, portanto os comprimentos de onda escalam com
. Assim, para
(
):
Se preferir a conta direta da fração acima:
Passo 7
Interpretação e unidades: o comprimento de onda obtido está na região ultravioleta do espectro (perto de
). Se quiser em metros, multiplica por
: