Considere o sistema:
Para entrada degrau unitário:
a) Determine
;
b) Faça a decomposição em frações parciais;
c) Determine
utilizando Transformada Inversa de Laplace.
a) Determine
b) Faça a decomposição em frações parciais;
c) Determine
Passo 1
O enunciado dá o sistema em espaço de frequência (função de transferência) e pede a resposta ao degrau unitário. Informações e perguntas claras:
- Dado:
- Entrada: degrau unitário. A transformada de Laplace do degrau unitário será usada.
- Perguntas:
a) Determine(a transformada de Laplace da saída).
b) Faça a decomposição em frações parciais de.
c) Determine(a saída no tempo) usando a transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Entendendo o que é
e como obtê-lo (fórmulas que vamos usar).
-
é a função de transferência do sistema, que relaciona a transformada da saída com a transformada da entrada pela relação
onde:
-
é a transformada de Laplace da saída ; -
é a transformada de Laplace da entrada . - Para entrada degrau unitário
(onde é a função degrau de Heaviside), vale a transformada padrão
Então, usaremos
.
Passo 3
Calcular
aplicando
.
- Substituindo
e , obtemos
Passo 4
Preparar a decomposição em frações parciais.
- Queremos escrever
onde
e
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade algébrica
Passo 5
Determinar
e
resolvendo a identidade.
- Método de valores convenientes:
- Tomando
na identidade dá
- Tomando
dá
- Tomando
- Portanto a decomposição é
Passo 6
Explicar as transformadas inversas que vamos usar e inverter termo a termo.
- Fórmulas padrão de Laplace (úteis aqui):
-
. -
para .
-
- Usando linearidade da transformada inversa, aplicamos inversa a cada parcela:
-
(multiplicado por , para ). -
(para ).
-
- Somando os dois termos obtemos a resposta no tempo:
Passo 7
Verificação rápida (sanity check) usando o teorema do valor final e valor inicial:
- Valor inicial
. Faz sentido: sistema com ganho dinâmico começa em zero para degrau aplicado instantaneamente. - Valor final pela fórmula do valor final:
. Pelo teorema do valor final,
coincide com a solução encontrada — bom sinal de consistência.
Resposta
a)
b)
c)