Considere que, para o tempo
entre 0 e
, a distância
, em relação a origem, de um objeto que se desloca sobre uma reta seja igual a
.
a) Determine os pontos críticos de
caracterizando-os como sendo de máximo ou de mínimo local.
b) Verifique que o objeto esteve parado em algum momento entre os instantes
.
c) Determine o instante em que o objeto está mais próximo e o que ele está mais afastado da origem.
a) Determine os pontos críticos de
b) Verifique que o objeto esteve parado em algum momento entre os instantes
c) Determine o instante em que o objeto está mais próximo e o que ele está mais afastado da origem.
Passo 1
O enunciado diz que, para
, a distância do objeto à origem é
Precisamos de:
– derivar para achar pontos críticos;
– usar a segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais;
– verificar se existe com
(objeto parado);
– avaliar em críticos e extremos do intervalo para achar o mais próximo e mais afastado da origem.
– derivar
– usar a segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais;
– verificar se existe
– avaliar
Passo 2
Derivando
Como
, fica
Logo as raízes são dadas por
Passo 3
Calculamos a segunda derivada:
Avaliaremos em cada crítico:
– Em
:
,
,
– Em
:
,
, dá o mesmo
máximo local.
– Em
:
,
,
– Em
:
,
,
Passo 4
No intervalo
há o ponto crítico
, onde
. Logo o objeto esteve parado nesse instante.
Passo 5
Para achar o mais próximo e o mais afastado, comparamos valores de
em
(fronteiras) e nos críticos.
– .
– .
– .
– .
– .
– .
–
–
–
–
–
–
O menor valor é
em
e o maior é
em
e
.
Resposta
a) Pontos críticos e classificação:
máximos locais.
mínimos locais.
b) Sim. Em
temos
.
c) Distância mínima
em
; distância máxima
em
e
.