Considere que, para o tempo t entre 0 e 2 pi, a distância s(t), em relação a origem, de um objeto que se desloca sobre uma reta seja igual a s(t)=3+2 sen(t)+cos (2 t).
a) Determine os pontos críticos de s(t) caracterizando-os como sendo de máximo ou de mínimo local.
b) Verifique que o objeto esteve parado em algum momento entre os instantes 5 pi / 4 e 7 pi / 4.
c) Determine o instante em que o objeto está mais próximo e o que ele está mais afastado da origem.

Passo 1

O enunciado diz que, para 0<= t<=2pi, a distância do objeto à origem é
s(t)=3+2sen(t)+cos(2t)
Precisamos de:
– derivar s(t) para achar pontos críticos;
– usar a segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais;
– verificar se existe tinl(tfrac5pi4,tfrac7pi4r) com s'(t)=0 (objeto parado);
– avaliar s(t) em críticos e extremos do intervalo para achar o mais próximo e mais afastado da origem.

Passo 2

Derivando
s'(t)=ddtl[3+2sen(t)+cos(2t)r] =2cos(t)-2sin(2t)
Como sin(2t)=2sen(t)cos(t), fica
s'(t)=2l[cos(t)-2sen(t)cos(t)r] =2cos(t)l[1-2sen(t)r]
Logo as raízes são dadas por
cos(t)=0Longrightarrow t=pi2,3pi2,
1-2sen(t)=0Longrightarrow sen(t)=tfrac12Longrightarrow t=pi6,5pi6

Passo 3

Calculamos a segunda derivada:
s''(t)=ddtl[2cos(t)-2sin(2t)r] =-2sen(t)-4cos(2t)
Avaliaremos em cada crítico:
– Em t=tfracpi6: sen(tfracpi6)=tfrac12, cos(2cdottfracpi6)=cos(tfracpi3)=tfrac12,
s''l(tfracpi6r) =-2cdottfrac12 -4cdottfrac12 =-1-2=-3<0
Rightarrow máximo local.
– Em t=tfrac5pi6: sen(tfrac5pi6)=tfrac12, cos(tfrac5pi3)=tfrac12, dá o mesmo s''=-3<0 Rightarrow máximo local.
– Em t=tfracpi2: sen(tfracpi2)=1, cos(pi)=-1,
s''l(tfracpi2r) =-2cdot1 -4cdot(-1) =-2+4=2>0
Rightarrow mínimo local.
– Em t=tfrac3pi2: sen(tfrac3pi2)=-1, cos(3pi)=-1,
s''l(tfrac3pi2r) =-2cdot(-1)-4cdot(-1) =2+4=6>0
Rightarrow mínimo local.

Passo 4

No intervalo l(tfrac5pi4,tfrac7pi4r)approx(3,93,5,50) há o ponto crítico t=tfrac3pi2approx4,71, onde s'(t)=0. Logo o objeto esteve parado nesse instante.

Passo 5

Para achar o mais próximo e o mais afastado, comparamos valores de
s(t)=3+2sen(t)+cos(2t)
em t=0,2pi (fronteiras) e nos críticos.
s(0)=3+2cdot0+1=4.
s(2pi)=4.
sl(tfracpi6r)=3+2cdottfrac12+tfrac12=4,5.
sl(tfrac5pi6r)=4,5.
sl(tfracpi2r)=3+2cdot1+(-1)=4.
sl(tfrac3pi2r)=3+2cdot(-1)+(-1)=0.
O menor valor é 0 em t=tfrac3pi2 e o maior é 4,5 em t=tfracpi6 e t=tfrac5pi6.

Resposta

a) Pontos críticos e classificação:
bul<=t t=tfracpi6,tfrac5pi6 Rightarrow máximos locais.
bul<=t t=tfracpi2,tfrac3pi2 Rightarrow mínimos locais.
b) Sim. Em t=tfrac3pi2inl(tfrac5pi4,tfrac7pi4r) temos s'(t)=0.
c) Distância mínima 0 em t=tfrac3pi2; distância máxima 4,5 em t=tfracpi6 e t=tfrac5pi6.

Exercícios relacionados