Considere que o tempo t, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, seja uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
|c|c|c|c|c|c|c| hline$t$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline $P(T=t)$ & 0,1 & 0,1 & 0,3 & 0,2 & 0,2 & 0,1 hline 2 3 4 5 6 7
0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
Calcule o tempo médio e a variância de processamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o tempo que um operário leva para processar uma peça, que pode ser 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 minutos. Cada um desses tempos tem uma certa probabilidade de acontecer, que está na tabela. Nosso objetivo é calcular o tempo médio que o operário leva para processar uma peça e também a variância desse tempo. Para isso, vamos usar conceitos de média (valor esperado) e variância de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo médio. A média de uma variável aleatória discreta é a soma de cada valor possível multiplicado pela sua probabilidade. Basicamente, é como se estivéssemos encontrando o “valor típico” que esperamos.
A fórmula é:
E(T) = sumi ti cdot P(T = ti)
Vamos aplicar os valores:
E(T) &= 2 cdot 0,1 + 3 cdot 0,1 + 4 cdot 0,3 + 5 cdot 0,2 + 6 cdot 0,2 + 7 cdot 0,1 &= 0,2 + 0,3 + 1,2 + 1,0 + 1,2 + 0,7 &= 4,6 minutos
Então, o tempo médio é de 4,6 minutos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância. A variância nos dá uma ideia de como os tempos estão espalhados em torno da média. Para calcular, primeiro precisamos calcular o valor esperado de $ T^2 $, ou seja, a média dos quadrados dos tempos, e depois usar a fórmula:
T^2
Vamos calcular $ E(T^2) $:
Var(T) = E(T^2) - [E(T)]^2
Agora, aplicamos na fórmula da variância:
E(T^2)

Resposta

O tempo médio de processamento é de 4,6 minutos e a variância é de 1,04 minutos².

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