A distribuição do número de filhos, por família, de uma zona rural está no quadro abaixo:
Número de Filhos Porcentagem
0 10
1 20
2 30
3 25
4 15
Total 100
Calcule E(barX) e Var(barX).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma zona rural onde o número de filhos por família segue esta tabela de probabilidades:
| Número de Filhos (X) | Probabilidade P(X) (%) |
| 0 | 10 |
| 1 | 20 |
| 2 | 30 |
| 3 | 25 |
| 4 | 15 |
O que a gente vai calcular é
  • E( X̄ ), ou seja, a esperança do valor médio de filhos em uma amostra de famílias;
  • Var( X̄ ), a variância desse valor médio.
Conteúdo que precisamos:
  1. Como achar a esperança (média) de uma variável discreta:
    E(X) = Σ x·P(X=x).
  2. Como achar a variância de uma variável discreta:
    Var(X) = E(X²) – [E(X)]², onde E(X²) = Σ x²·P(X=x).
  3. Propriedade da média amostral:
    E( X̄ ) = E(X) e Var( X̄ ) = Var(X)/n, sendo n o tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro calculamos a esperança E(X):
E(X) = 0·0,10 + 1·0,20 + 2·0,30 + 3·0,25 + 4·0,15
Em porcentagem a gente converte pra decimal (10% = 0,10 etc.):
E(X) = 0 + 0,20 + 0,60 + 0,75 + 0,60 = 2,15
Então a média “populacional” de filhos por família é 2,15.

Passo 3

Agora precisamos de E(X²):
E(X²) = 0²·0,10 + 1²·0,20 + 2²·0,30 + 3²·0,25 + 4²·0,15
= 0 + 1·0,20 + 4·0,30 + 9·0,25 + 16·0,15
= 0 + 0,20 + 1,20 + 2,25 + 2,40 = 6,05
Aí a variância populacional é
Var(X) = E(X²) – [E(X)]² = 6,05 – (2,15)² = 6,05 – 4,6225 = 1,4275

Passo 4

Pra amostra de tamanho n (ou seja, se você pegar n famílias aleatórias), vale que:
E( X̄ ) = E(X) = 2,15
Var( X̄ ) = Var(X)/n = 1,4275 / n

Resposta

E( X̄ ) = 2,15
Var( X̄ ) = 1,4275 / n

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