A porcentagem de álcool ( 100 x ) em um certo composto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função de densidade:
ll f(x)=20 x^3(1-x) & para 0 <= x <= 1 f(x)=0 & para outros valores de x
Encontre F(x)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a porcentagem de álcool X (num composto qualquer) é uma v.a. contínua com densidade
f(x)= 20,x^3,(1-x),&0<= x<=1, 0,&caso contrário á
O que a gente quer achar é a função de distribuição acumulada (CDF)
F(x)=P(X<= x);=;integral-infty^xf(t),dt
Matéria: variáveis contínuas e CDF. Ferramentas: definição de CDF, integração de polinômio e Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, note que como F(x) =integral-infty^xf(t),dt =integral0^x20,t^3(1-t),dt para integral(20t^3),dt =20cdott^44=5t^4, integral(20t^4),dt =20cdott^55=4t^5 e também para integral0^x20t^3(1-t),dt =l[5t^4 -4t^5r]0^x =5x^4 -4x^5 , temos diretamente
  • Se , então .
  • Se , então (porque a densidade integra 1 sobre todo o domínio).
O caso “interessante” é quando :
Vamos integrar passo a passo:
  1. Expande o produto:
  2. Integra termo a termo:
  3. Logo

Passo 3

Só conferir se bate com as “bordas”:
  • Em , .
  • Em , .
    Perfeito, faz sentido pra uma CDF.

Resposta

F(x)= 0, & x<0,[6pt] 5x^4 ;-;4x^5, & 0<= x<=1,[6pt] 1, & x>1

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