A porcentagem de álcool ( 100 x ) em um certo composto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função de densidade:
Encontre F(x)
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a porcentagem de álcool X (num composto qualquer) é uma v.a. contínua com densidade
O que a gente quer achar é a função de distribuição acumulada (CDF)
Matéria: variáveis contínuas e CDF. Ferramentas: definição de CDF, integração de polinômio e Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, note que como
para
e também para
, temos diretamente
- Se
, então . - Se
, então (porque a densidade integra 1 sobre todo o domínio).
O caso “interessante” é quando
:
Vamos integrar passo a passo:
- Expande o produto:
- Integra termo a termo:
- Logo
Passo 3
Só conferir se bate com as “bordas”:
- Em
, . - Em
, .
Perfeito, faz sentido pra uma CDF.