Considere a tensão v(t)=160 \cos 50 t V e i(t)=-33 \sin \left(50 t-30^{\circ}\right) A. Calcule a potência instantânea e a potência média.
Resp.: \left(1,320+2,640 \cos \left(100 t+60^{\circ}\right)\right) \mathrm{kW}, 1.320 \mathrm{~kW}

Passo 1

O enunciado dá
v(t) = 160\cos(50t)\;\text{V},
i(t) = -33\sin\bigl(50t - 30^\circ\bigr)\;\text{A},
e pede a potência instantânea p(t)=v(t)i(t) e a potência média P_{\rm m}. Vamos usar definições de trigonometria para produto de seno e cosseno e depois identificar o termo constante (média) e o termo de frequência dupla.

Passo 2

Reescrevemos i(t) em termos de \sin50t e \cos50t. Usando
\sin(50t - 30^\circ) = \sin50t\cos30^\circ - \cos50t\sin30^\circ
temos
i(t) = -33\bigl(\sin50t\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} - \cos50t\cdot\tfrac12\bigr) = \frac{33}{2}\cos50t - \frac{33\sqrt3}{2}\sin50t.

Passo 3

Multiplicamos v(t) por i(t):
p(t) = 160\cos50t\;\Bigl(\frac{33}{2}\cos50t - \frac{33\sqrt3}{2}\sin50t\Bigr) = 2640\bigl(\cos^2 50t - \sqrt3\,\sin50t\cos50t\bigr)
onde 2640 = 160\cdot\frac{33}{2}.

Passo 4

Aplicamos as identidades
\cos^2x = \frac{1+\cos2x}2, \quad \sin x\cos x = \frac{\sin2x}2
com x=50t. Assim
p(t) = 2640\Bigl(\tfrac{1+\cos100t}2 - \sqrt3\;\tfrac{\sin100t}2\Bigr) = 1320\Bigl(1 + \cos100t - \sqrt3\,\sin100t\Bigr).

Passo 5

Reagrupando o termo de frequência dupla em forma fasorial, notamos que
\cos100t - \sqrt3\,\sin100t = 2\cos\bigl(100t+60^\circ\bigr),
pois
2\cos(100t+60^\circ) =2\bigl(\cos100t\cos60^\circ - \sin100t\sin60^\circ\bigr) =\cos100t - \sqrt3\,\sin100t.
Logo
p(t) = 1320\Bigl[1 + 2\cos\bigl(100t+60^\circ\bigr)\Bigr] =1320 + 2640\cos\bigl(100t+60^\circ\bigr)\quad(\text{W}).

Passo 6

A potência média P_{\rm m} é o termo constante de p(t):
P_{\rm m} = 1320\;\text{W} = 1{,}320\;\text{kW}.

Resposta

p(t) = \bigl(1{,}320 + 2{,}640\cos(100t + 60^\circ)\bigr)\,\mathrm{kW}, \quad P_{\rm m} = 1{,}320\;\mathrm{kW}.

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