Considere o tensor cartesiano de segunda ordem cujas componentes são dadas T_{i j}=\delta_{i j}-3 x_{i} x_{j}. Mostre que este tensor é simétrico e avalie as seguintes integrais sobre a esfera unitária:
a) \int T_{i j} d S
b) \int T_{i k} T_{k j} d S.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: o tensor de segunda ordem cujas componentes (no espaço euclidiano tridimensional) são
T_{ij}=\delta_{ij}-3\,x_i x_j,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker e x_i são as componentes da posição (na esfera unitária temos \sum_{i=1}^{3}x_i^2=1).
  • Pedidos:
    a) Mostrar que o tensor é simétrico.
    b) Calcular as integrais de superfície sobre a esfera unitária S (superfície da esfera de raio 1 em \mathbb{R}^3): \text{(a)}\quad \int_{S} T_{ij}\,dS, \qquad \text{(b)}\quad \int_{S} T_{ik}T_{kj}\,dS,onde a notação T_{ik}T_{kj} implica soma sobre o índice repetido k (convenção de soma).
Informações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
  • Área da esfera unitária em \mathbb{R}^3 é \displaystyle \int_{S} dS = 4\pi.
  • Pelo princípio de isotropia (simetria esférica), integrais do tipo \displaystyle \int_{S} x_i x_j\,dS são proporcionais a \delta_{ij}; isto será explorado e determinado explicitamente.

Passo 2

Mostrar que T_{ij} é simétrico.
  • Definição e observações: \delta_{ij}=\delta_{ji} por construção do delta de Kronecker. Além disso, x_i x_j = x_j x_i (produto de números reais é comutativo).
  • Portanto
T_{ji}=\delta_{ji}-3\,x_j x_i=\delta_{ij}-3\,x_i x_j=T_{ij}.
Conclusão: T_{ij}=T_{ji}, ou seja, o tensor é simétrico.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{S} x_i x_j\,dS usando simetria (essa é a peça chave para as integrais pedidas).
  • Pela simetria rotacional da esfera, a integral \displaystyle \int_{S} x_i x_j\,dS deve ser da forma A\,\delta_{ij} para alguma constante A independente de i,j. Ou seja,
\int_{S} x_i x_j\,dS = A\,\delta_{ij}.
  • Para encontrar A, tome o traço (somando i=j sobre i=1,2,3):
\sum_{i=1}^{3}\int_{S} x_i x_i\,dS = \int_{S} \sum_{i=1}^{3} x_i^2\,dS = \int_{S} 1\,dS = 4\pi,
já que na esfera unitária \sum_i x_i^2 = 1 e \int_S dS = 4\pi.
  • Por outro lado, usando a expressão A\,\delta_{ij},
\sum_{i=1}^{3}\int_{S} x_i x_i\,dS = \sum_{i=1}^{3} A\,\delta_{ii} = A\cdot 3.
  • Igualando as duas expressões para a soma:
3A = 4\pi \quad\Rightarrow\quad A=\frac{4\pi}{3}.
  • Conclusão:
\boxed{\displaystyle \int_{S} x_i x_j\,dS = \frac{4\pi}{3}\,\delta_{ij}.}

Passo 4

Agora calculo a integral (a): \displaystyle \int_{S} T_{ij}\,dS.
  • Use a definição T_{ij}=\delta_{ij}-3x_i x_j e a linearidade da integral:
\int_{S} T_{ij}\,dS = \int_{S} \delta_{ij}\,dS -3\int_{S} x_i x_j\,dS.
  • A primeira integral é simplesmente \delta_{ij} vezes a área da esfera:
\int_{S} \delta_{ij}\,dS = \delta_{ij}\int_{S} dS = \delta_{ij}\cdot 4\pi.
  • A segunda integral já foi obtida no passo anterior:
\int_{S} x_i x_j\,dS = \frac{4\pi}{3}\,\delta_{ij}.
  • Substituindo:
\int_{S} T_{ij}\,dS = 4\pi\,\delta_{ij} -3\cdot\frac{4\pi}{3}\,\delta_{ij} = (4\pi-4\pi)\,\delta_{ij} = 0.
  • Portanto a integral (a) é o tensor nulo (todas as componentes nulas).

Passo 5

Preparação para a integral (b): manipular o integrando T_{ik}T_{kj} antes de integrar.
  • Expansão usando T_{ik}=\delta_{ik}-3x_i x_k e T_{kj}=\delta_{kj}-3x_k x_j:
T_{ik}T_{kj} = (\delta_{ik}-3x_i x_k)(\delta_{kj}-3x_k x_j).
  • Expandindo (lembrando soma sobre k):
T_{ik}T_{kj} = \delta_{ik}\delta_{kj} -3\delta_{ik}x_k x_j -3 x_i x_k\delta_{kj} +9 x_i x_k x_k x_j.
  • Simplificar termos usando propriedades do delta e que x_k x_k = \sum_{k} x_k^2 = 1 na esfera unitária:
    • \delta_{ik}\delta_{kj} = \delta_{ij}.
    • \delta_{ik} x_k = x_i e x_k \delta_{kj} = x_j.
    • x_k x_k = 1 na superfície da esfera unitária.
  • Assim o integrando simplifica para
T_{ik}T_{kj} = \delta_{ij} -3 x_i x_j -3 x_i x_j +9 x_i( x_k x_k )x_j = \delta_{ij} -6 x_i x_j +9 x_i x_j = \delta_{ij} +3 x_i x_j.

Passo 6

Integrar o resultado do passo anterior para obter (b).
  • Temos
\int_{S} T_{ik}T_{kj}\,dS = \int_{S} \big(\delta_{ij} +3 x_i x_j\big)\,dS.
  • Separando:
\int_{S} \delta_{ij}\,dS + 3\int_{S} x_i x_j\,dS = 4\pi\,\delta_{ij} + 3\cdot\frac{4\pi}{3}\,\delta_{ij}
usando os resultados anteriores.
  • Simplificando:
4\pi\,\delta_{ij} + 4\pi\,\delta_{ij} = 8\pi\,\delta_{ij}.
  • Portanto a integral (b) é \displaystyle 8\pi\,\delta_{ij}.

Resposta

\displaystyle \int_{S} T_{ij}\,dS = 0
\displaystyle \int_{S} T_{ik}T_{kj}\,dS = 8\pi\,\delta_{ij}

Exercícios relacionados