Considere o tensor cartesiano de segunda ordem cujas componentes são dadas
. Mostre que este tensor é simétrico e avalie as seguintes integrais sobre a esfera unitária:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: o tensor de segunda ordem cujas componentes (no espaço euclidiano tridimensional) são
onde
é o delta de Kronecker e
são as componentes da posição (na esfera unitária temos
).
- Pedidos:
a) Mostrar que o tensor é simétrico.
b) Calcular as integrais de superfície sobre a esfera unitária(superfície da esfera de raio 1 em ): onde a notação implica soma sobre o índice repetido (convenção de soma).
Informações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
- Área da esfera unitária em
é . - Pelo princípio de isotropia (simetria esférica), integrais do tipo
são proporcionais a ; isto será explorado e determinado explicitamente.
Passo 2
Mostrar que
é simétrico.
- Definição e observações:
por construção do delta de Kronecker. Além disso, (produto de números reais é comutativo). - Portanto
Conclusão:
, ou seja, o tensor é simétrico.
Passo 3
Calcular
usando simetria (essa é a peça chave para as integrais pedidas).
- Pela simetria rotacional da esfera, a integral
deve ser da forma para alguma constante independente de . Ou seja,
- Para encontrar
, tome o traço (somando sobre ):
já que na esfera unitária
e
.
- Por outro lado, usando a expressão
,
- Igualando as duas expressões para a soma:
- Conclusão:
Passo 4
Agora calculo a integral (a):
.
- Use a definição
e a linearidade da integral:
- A primeira integral é simplesmente
vezes a área da esfera:
- A segunda integral já foi obtida no passo anterior:
- Substituindo:
- Portanto a integral (a) é o tensor nulo (todas as componentes nulas).
Passo 5
Preparação para a integral (b): manipular o integrando
antes de integrar.
- Expansão usando
e :
- Expandindo (lembrando soma sobre
):
- Simplificar termos usando propriedades do delta e que
na esfera unitária: -
. -
e . -
na superfície da esfera unitária.
-
- Assim o integrando simplifica para
Passo 6
Integrar o resultado do passo anterior para obter (b).
- Temos
- Separando:
usando os resultados anteriores.
- Simplificando:
- Portanto a integral (b) é
.