Use notação indicial para representar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações diferenciais acopladas:
e pede para representá‑lo usando notação indicial (ou notação de índices).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As incógnitas são
e . - Os coeficientes são
com . - Cada equação é uma combinação linear das duas variáveis.
Passo 2
O que é notação indicial (em termos práticos, sem formalismo pesado):
- Introduzimos índices (como
) que indicam componentes de vetores/matrizes. - Regra prática muito útil (convenção de Einstein): quando um índice aparece duas vezes num mesmo termo, somamos sobre esse índice automaticamente. Ex.:
significa . - Um índice que aparece apenas uma vez é chamado de índice livre; ele indica para quais componentes a igualdade vale (por exemplo, para
e ).
Passo 3
Escolhendo índices para este problema:
- Use o índice livre
para numerar as duas equações (ou seja, ). - Use um índice repetido (por exemplo
) para indicar a soma sobre as componentes da variável (ou seja, soma sobre ).
Passo 4
Escrevendo o sistema em notação indicial compacta:
Aqui vale a convenção de soma sobre
: o termo
significa
.
Passo 5
Verificação componente a componente (para ficar seguro na prova):
- Para
a notação indicial dá
que é exatamente a primeira equação dada.
- Para
dá
que é a segunda equação dada.
Passo 6
Observações finais (dicas rápidas para a prova):
- Pode escrever também com ponto:
. - A notação indicial é equivalente à forma matricial
, onde e . - Lembre que índices repetidos representam soma; índices livres indicam os componentes a que a igualdade se aplica. Isso resolve muitos exercícios com pouca escrita.