Use notação indicial para representar as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y_{1}}{d t}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações diferenciais acopladas:
\frac{d y_{1}}{d t}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2},\qquad \frac{d y_{2}}{d t}=a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2},
e pede para representá‑lo usando notação indicial (ou notação de índices).
Informações relevantes dadas:
  • As incógnitas são y_{1}(t) e y_{2}(t).
  • Os coeficientes são a_{ij} com i,j\in\{1,2\}.
  • Cada equação é uma combinação linear das duas variáveis.

Passo 2

O que é notação indicial (em termos práticos, sem formalismo pesado):
  • Introduzimos índices (como i,j,k) que indicam componentes de vetores/matrizes.
  • Regra prática muito útil (convenção de Einstein): quando um índice aparece duas vezes num mesmo termo, somamos sobre esse índice automaticamente. Ex.: a_{i j} y_{j} significa \sum_{j=1}^{2} a_{i j} y_{j}.
  • Um índice que aparece apenas uma vez é chamado de índice livre; ele indica para quais componentes a igualdade vale (por exemplo, para i=1 e i=2).

Passo 3

Escolhendo índices para este problema:
  • Use o índice livre i para numerar as duas equações (ou seja, i=1,2).
  • Use um índice repetido (por exemplo j) para indicar a soma sobre as componentes da variável y (ou seja, soma sobre j=1,2).

Passo 4

Escrevendo o sistema em notação indicial compacta:
\frac{d y_{i}}{d t}=a_{i j}\,y_{j}, \qquad i=1,2.
Aqui vale a convenção de soma sobre j: o termo a_{i j}y_{j} significa a_{i1}y_{1}+a_{i2}y_{2}.

Passo 5

Verificação componente a componente (para ficar seguro na prova):
  • Para i=1 a notação indicial dá
\frac{d y_{1}}{d t}=a_{1j}y_{j}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2},
que é exatamente a primeira equação dada.
  • Para i=2
\frac{d y_{2}}{d t}=a_{2j}y_{j}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2},
que é a segunda equação dada.

Passo 6

Observações finais (dicas rápidas para a prova):
  • Pode escrever também com ponto: \dot y_{i}=a_{ij}y_{j}.
  • A notação indicial é equivalente à forma matricial \mathbf{\dot y}=A\mathbf{y}, onde \mathbf{y}=(y_{1},y_{2})^{T} e A=(a_{ij}).
  • Lembre que índices repetidos representam soma; índices livres indicam os componentes a que a igualdade se aplica. Isso resolve muitos exercícios com pouca escrita.

Resposta

\frac{d y_{i}}{d t}=a_{i j}\,y_{j},\qquad i=1,2.

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