Calcule os 6 símbolos de Christoffel para o sistema de coordenadas definido por
x=2 e^{\mathrm{u}-v}, \mathrm{y}=-e^{3 \mathrm{u}+2 v}

Passo 1

O enunciado dá a mudança de coordenadas do plano:
x = 2 e^{u-v},\qquad y = - e^{3u+2v},
onde as novas coordenadas são (u,v).
Pede-se calcular os seis símbolos de Christoffel independentes (em 2D):
\Gamma^{1}_{11},\\ \Gamma^{1}_{12}=\Gamma^{1}_{21},\\ \Gamma^{1}_{22},\\ \Gamma^{2}_{11},\\ \Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{2}_{21},\\ \Gamma^{2}_{22}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas x,y são funções suaves de u,v.
  • A métrica no espaço original (coordenadas x,y) é a euclidiana plana ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}. Assim a métrica em (u,v) é a métrica induzida por essa transformação.

Passo 2

Primeiro passo prático: calculo das derivadas parciais x_{u},x_{v},y_{u},y_{v} (subíndices significam derivada parcial).
Usando as funções dadas:
x = 2 e^{u-v}\quad\Rightarrow\quad x_{u}=2 e^{u-v}=x,\qquad x_{v}=-2 e^{u-v}=-x.
y = - e^{3u+2v}\quad\Rightarrow\quad y_{u}=-3 e^{3u+2v}=3y,\qquad y_{v}=-2 e^{3u+2v}=2y.
Observação: aqui foi usada a dependência explícita x e y para simplificar as expressões (por isso aparece x e y nas derivadas).

Passo 3

Agora construímos os componentes da métrica \,g_{ij}\, em (u,v) pela fórmula da métrica induzida:
g_{ij}=x_{i}x_{j}+y_{i}y_{j},
onde i,j\in\{1,2\} e identificamos 1\leftrightarrow u,\\\ 2\leftrightarrow v. Então:
g_{11}=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}=x^{2}+(3y)^{2}=x^{2}+9y^{2},
g_{12}=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}=x(-x)+3y\cdot2y=-x^{2}+6y^{2},
g_{22}=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}=(-x)^{2}+(2y)^{2}=x^{2}+4y^{2}.
Para facilitar as contas, definimos a := x^{2} e b := y^{2}. Assim:
g_{11}=a+9b,\qquad g_{12}=-a+6b,\qquad g_{22}=a+4b.
Também escrevemos explicitamente a e b em função de u,v (caso queira verificar numericamente):
a=4e^{2(u-v)},\qquad b=e^{6u+4v}.

Passo 4

Precisamos das derivadas parciais de g_{ij} em relação a u e v. Primeiro derivadas de a,b:
a_{u}=2a,\quad a_{v}=-2a,\qquad b_{u}=6b,\quad b_{v}=4b.
Agora derivadas dos componentes (usando A:=g_{11},\\ B:=g_{12},\\ C:=g_{22}):
A=a+9b\quad\Rightarrow\quad A_{u}=2a+54b,\quad A_{v}=-2a+36b,
B=-a+6b\quad\Rightarrow\quad B_{u}=-2a+36b,\quad B_{v}=2a+24b,
C=a+4b\quad\Rightarrow\quad C_{u}=2a+24b,\quad C_{v}=-2a+16b.

Passo 5

Calculamos a inversa da matriz métrica g_{ij}=\begin{pmatrix}A&B\B&C\end{pmatrix}. O determinante é
\det g = AC - B^{2}.
Substituindo A,B,C em termos de a,b:
AC - B^{2}=(a+9b)(a+4b)-(-a+6b)^{2}=25ab.
Portanto a inversa g^{ij} tem componentes:
g^{11}=\frac{C}{\det g}=\frac{a+4b}{25ab},\qquad g^{12}=-\frac{B}{\det g}=\frac{a-6b}{25ab},\qquad g^{22}=\frac{A}{\det g}=\frac{a+9b}{25ab}.

Passo 6

Relembrando a fórmula dos símbolos de Christoffel de Levi-Civita (índices i,j,k em \{1,2\}):
\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac{1}{2}\,g^{k\ell}\bigl(\partial_{i}g_{j\ell}+\partial_{j}g_{i\ell}-\partial_{\ell}g_{ij}\bigr),
com soma sobre \ell. Para 2D, por simetrias, as expressões podem ser simplificadas e, após agrupar termos, obtém-se as fórmulas úteis que vamos usar (com A=g_{11},B=g_{12},C=g_{22}):
\Gamma^{1}_{11}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{11}A_{u}+g^{12}(2B_{u}-A_{v})\bigr),
\Gamma^{1}_{12}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{11}A_{v}+g^{12}C_{u}\bigr),
\Gamma^{1}_{22}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{11}(2B_{v}-C_{u})+g^{12}C_{v}\bigr),
\Gamma^{2}_{11}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{12}A_{u}+g^{22}(2B_{u}-A_{v})\bigr),
\Gamma^{2}_{12}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{12}A_{v}+g^{22}C_{u}\bigr),
\Gamma^{2}_{22}=\tfrac{1}{2}\bigl(g^{12}(2B_{v}-C_{u})+g^{22}C_{v}\bigr).
Nota: usando as derivadas encontradas, observe que 2B_{u}-A_{v}=B_{u} e 2B_{v}-C_{u}=B_{v} (isso facilita as contas).

Passo 7

Vamos calcular cada termo necessário substituindo as expressões em a,b.
Cálculo intermédio (produtos que aparecem nos numeradores). Para compactar, multiplicamos g^{ij} pelos derivados já calculados; todos os denominadores são 25ab, então somas vão simplificar.
  1. Para \Gamma^{1}_{11}:
g^{11}A_{u}=\frac{a+4b}{25ab}(2a+54b)=\frac{2a^{2}+62ab+216b^{2}}{25ab},
g^{12}B_{u}=\frac{a-6b}{25ab}(-2a+36b)=\frac{-2a^{2}+48ab-216b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{11}A_{u}+g^{12}B_{u}=\frac{110ab}{25ab}=\frac{110}{25}=\frac{22}{5}.
Logo
\Gamma^{1}_{11}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{22}{5}=\frac{11}{5}.

Passo 8

  1. Para \Gamma^{1}_{12}:
g^{11}A_{v}=\frac{a+4b}{25ab}(-2a+36b)=\frac{-2a^{2}+28ab+144b^{2}}{25ab},
g^{12}C_{u}=\frac{a-6b}{25ab}(2a+24b)=\frac{2a^{2}+12ab-144b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{11}A_{v}+g^{12}C_{u}=\frac{40ab}{25ab}=\frac{40}{25}=\frac{8}{5}.
Logo
\Gamma^{1}_{12}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{8}{5}=\frac{4}{5}.

Passo 9

  1. Para \Gamma^{1}_{22}:
g^{11}B_{v}=\frac{a+4b}{25ab}(2a+24b)=\frac{2a^{2}+32ab+96b^{2}}{25ab},
g^{12}C_{v}=\frac{a-6b}{25ab}(-2a+16b)=\frac{-2a^{2}+28ab-96b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{11}B_{v}+g^{12}C_{v}=\frac{60ab}{25ab}=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}.
Logo
\Gamma^{1}_{22}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{12}{5}=\frac{6}{5}.

Passo 10

  1. Para \Gamma^{2}_{11}:
g^{12}A_{u}=\frac{a-6b}{25ab}(2a+54b)=\frac{2a^{2}+42ab-324b^{2}}{25ab},
g^{22}B_{u}=\frac{a+9b}{25ab}(-2a+36b)=\frac{-2a^{2}+18ab+324b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{12}A_{u}+g^{22}B_{u}=\frac{60ab}{25ab}=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}.
Logo
\Gamma^{2}_{11}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{12}{5}=\frac{6}{5}.

Passo 11

  1. Para \Gamma^{2}_{12}:
g^{12}A_{v}=\frac{a-6b}{25ab}(-2a+36b)=\frac{-2a^{2}+48ab-216b^{2}}{25ab},
g^{22}C_{u}=\frac{a+9b}{25ab}(2a+24b)=\frac{2a^{2}+42ab+216b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{12}A_{v}+g^{22}C_{u}=\frac{90ab}{25ab}=\frac{90}{25}=\frac{18}{5}.
Logo
\Gamma^{2}_{12}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{18}{5}=\frac{9}{5}.

Passo 12

  1. Para \Gamma^{2}_{22}:
g^{12}B_{v}=\frac{a-6b}{25ab}(2a+24b)=\frac{2a^{2}+12ab-144b^{2}}{25ab},
g^{22}C_{v}=\frac{a+9b}{25ab}(-2a+16b)=\frac{-2a^{2}-2ab+144b^{2}}{25ab}.
Somando:
g^{12}B_{v}+g^{22}C_{v}=\frac{10ab}{25ab}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.
Logo
\Gamma^{2}_{22}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{5}.

Resposta

\Gamma^{1}_{11}=\dfrac{11}{5}
\Gamma^{1}_{12}=\dfrac{4}{5}
\Gamma^{1}_{22}=\dfrac{6}{5}
\Gamma^{2}_{11}=\dfrac{6}{5}
\Gamma^{2}_{12}=\dfrac{9}{5}
\Gamma^{2}_{22}=\dfrac{1}{5}

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