Calcule os 6 símbolos de Christoffel para o sistema de coordenadas definido por
Passo 1
O enunciado dá a mudança de coordenadas do plano:
onde as novas coordenadas são
.
Pede-se calcular os seis símbolos de Christoffel independentes (em 2D):
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pede-se calcular os seis símbolos de Christoffel independentes (em 2D):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As coordenadas
são funções suaves de . - A métrica no espaço original (coordenadas
) é a euclidiana plana . Assim a métrica em é a métrica induzida por essa transformação.
Passo 2
Primeiro passo prático: calculo das derivadas parciais
(subíndices significam derivada parcial).
Usando as funções dadas:
Usando as funções dadas:
Observação: aqui foi usada a dependência explícita
e
para simplificar as expressões (por isso aparece
e
nas derivadas).
Passo 3
Agora construímos os componentes da métrica
em
pela fórmula da métrica induzida:
onde
e identificamos
. Então:
Para facilitar as contas, definimos
e
. Assim:
Também escrevemos explicitamente
e
em função de
(caso queira verificar numericamente):
Passo 4
Precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. Primeiro derivadas de
:
Agora derivadas dos componentes (usando
):
Passo 5
Calculamos a inversa da matriz métrica
. O determinante é
Substituindo
em termos de
:
Portanto a inversa
tem componentes:
Passo 6
Relembrando a fórmula dos símbolos de Christoffel de Levi-Civita (índices
em
):
com soma sobre
. Para 2D, por simetrias, as expressões podem ser simplificadas e, após agrupar termos, obtém-se as fórmulas úteis que vamos usar (com
):
Nota: usando as derivadas encontradas, observe que
e
(isso facilita as contas).
Passo 7
Vamos calcular cada termo necessário substituindo as expressões em
.
Cálculo intermédio (produtos que aparecem nos numeradores). Para compactar, multiplicamos
pelos derivados já calculados; todos os denominadores são
, então somas vão simplificar.
- Para
:
Somando:
Logo
Passo 8
- Para
:
Somando:
Logo
Passo 9
- Para
:
Somando:
Logo
Passo 10
- Para
:
Somando:
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Passo 11
- Para
:
Somando:
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Passo 12
- Para
:
Somando:
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