Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares. Além disso, determine as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor.
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que é pedido:
- Determinar os autovalores (eigenvalues) e os autovetores (eigenvectors) dessa transformação.
- Determinar, para cada autovalor, a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A regra de ação de
sobre um vetor é . - Trabalhamos inicialmente com a base canônica de
.
Passo 2
Representar
pela sua matriz na base canônica. Se aplicamos
aos vetores da base:
-
, -
.
Portanto a matriz de
na base canônica é
Passo 3
Relembrando a definição (rápida e didática): um número
é autovalor de
se existe vetor não-nulo
tal que
Em termos de matriz, isso equivale a existir
com
ou seja,
deve anular o polinômio característico
. As raízes desse polinômio são os autovalores (contadas com multiplicidade algébrica). A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço próprio (o espaço de soluções de
).
Passo 4
Calcular o polinômio característico:
Logo o polinômio característico é
.]
Passo 5
Encontrar as raízes do polinômio:
Observação importante (intuição geométrica): como as raízes são complexas não reais, isso significa que, trabalhando somente sobre
, a transformação não tem autovalores reais e, portanto, não tem autovetores reais. Geometricamente,
é a rotação de
no plano (ou uma rotação por
dependendo do sinal da convenção), o que não deixa nenhum vetor real fixo a menos de um fator escalar real.
Passo 6
Agora vamos achar os autovetores, trabalhando no corpo
(extensão complexa), porque os autovalores são complexos.
Para
resolvemos
. Escrevendo
,
As equações são
Da primeira equação obtemos
. Substituindo na segunda dá a mesma relação (não contraditória), então a solução geral é
Tomando
como escolha conveniente, um autovetor associado a
é
Verificação rápida:
, confirma.]
Passo 7
Para
resolvemos
:
A primeira equação dá
, ou seja
. Tomando
obtemos o autovetor
Verificação:
, confirma.]
Passo 8
Determinar as multiplicidades algébricas: o polinômio característico
fatoriza em
sobre
. Cada raiz
e
é simples, portanto cada uma tem multiplicidade algébrica igual a
.
Passo 9
Determinar as multiplicidades geométricas: para cada
calculámos o espaço próprio e vimos que, em cada caso, o conjunto de soluções de
é um subespaço unidimensional (gerado por
para
e por
para
). Portanto a multiplicidade geométrica de cada autovalor é
.
Também vale a observação geral (útil na prova): a multiplicidade geométrica é sempre
multiplicidade algébrica; aqui ambas coincidem (=1) para cada autovalor complexo.
Passo 10
Resumo final (ênfase prática para a prova):
- Sobre
: não há autovalores reais e, portanto, não há autovetores reais (isso pode ser mencionado como resposta curta se a prova pedir apenas sobre ). - Sobre
: os autovalores são , com autovetores e multiplicidades indicadas abaixo.
Resposta
Sobre
: não existem autovalores reais (logo não existem autovetores reais).
Sobre
: