Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares. Além disso, determine as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad T(x, y)=(y,-x).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(y,-x).
O que é pedido:
  • Determinar os autovalores (eigenvalues) e os autovetores (eigenvectors) dessa transformação.
  • Determinar, para cada autovalor, a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A regra de ação de T sobre um vetor (x,y) é T(x,y)=(y,-x).
  • Trabalhamos inicialmente com a base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Representar T pela sua matriz na base canônica. Se aplicamos T aos vetores da base:
  • T(1,0)=(0,-1),
  • T(0,1)=(1,0).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Relembrando a definição (rápida e didática): um número \lambda é autovalor de T se existe vetor não-nulo v tal que
T(v)=\lambda v.
Em termos de matriz, isso equivale a existir v\neq0 com
(A-\lambda I)v=0,
ou seja, \lambda deve anular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. As raízes desse polinômio são os autovalores (contadas com multiplicidade algébrica). A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço próprio (o espaço de soluções de (A-\lambda I)v=0).

Passo 4

Calcular o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(-\lambda)- (1)(-1)=\lambda^2+1.
Logo o polinômio característico é \lambda^2+1.]

Passo 5

Encontrar as raízes do polinômio:
\lambda^2+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2=-1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm i.
Observação importante (intuição geométrica): como as raízes são complexas não reais, isso significa que, trabalhando somente sobre \mathbb{R}, a transformação não tem autovalores reais e, portanto, não tem autovetores reais. Geometricamente, T é a rotação de -90^\circ no plano (ou uma rotação por 90^\circ dependendo do sinal da convenção), o que não deixa nenhum vetor real fixo a menos de um fator escalar real.

Passo 6

Agora vamos achar os autovetores, trabalhando no corpo \mathbb{C} (extensão complexa), porque os autovalores são complexos.
Para \lambda=i resolvemos (A-iI)v=0. Escrevendo v=(v_1,v_2),
\begin{pmatrix}-i & 1\\[4pt]-1 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As equações são
-i v_1 + v_2 = 0, \qquad - v_1 - i v_2 = 0.
Da primeira equação obtemos v_2 = i v_1. Substituindo na segunda dá a mesma relação (não contraditória), então a solução geral é
v_1 \text{ livre},\qquad v_2 = i v_1.
Tomando v_1=1 como escolha conveniente, um autovetor associado a \lambda=i é
v^{(i)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Verificação rápida: T(1,i)=(i,-1)=i(1,i), confirma.]

Passo 7

Para \lambda=-i resolvemos (A+ i I)v=0:
\begin{pmatrix}i & 1\\[4pt]-1 & i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá i v_1 + v_2 =0, ou seja v_2 = -i v_1. Tomando v_1=1 obtemos o autovetor
v^{(-i)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Verificação: T(1,-i)=(-i,-1)= -i(1,-i), confirma.]

Passo 8

Determinar as multiplicidades algébricas: o polinômio característico \lambda^2+1 fatoriza em (\lambda-i)(\lambda+i) sobre \mathbb{C}. Cada raiz \lambda=i e \lambda=-i é simples, portanto cada uma tem multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 9

Determinar as multiplicidades geométricas: para cada \lambda calculámos o espaço próprio e vimos que, em cada caso, o conjunto de soluções de (A-\lambda I)v=0 é um subespaço unidimensional (gerado por (1,i) para \lambda=i e por (1,-i) para \lambda=-i). Portanto a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1.
Também vale a observação geral (útil na prova): a multiplicidade geométrica é sempre \le multiplicidade algébrica; aqui ambas coincidem (=1) para cada autovalor complexo.

Passo 10

Resumo final (ênfase prática para a prova):
  • Sobre \mathbb{R}: não há autovalores reais e, portanto, não há autovetores reais (isso pode ser mencionado como resposta curta se a prova pedir apenas sobre \mathbb{R}).
  • Sobre \mathbb{C}: os autovalores são \pm i, com autovetores e multiplicidades indicadas abaixo.

Resposta

Sobre \mathbb{R}: não existem autovalores reais (logo não existem autovetores reais).
Sobre \mathbb{C}:
\lambda=i, autovetor exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]i\end{pmatrix}; multiplicidade algébrica 1; multiplicidade geométrica 1.
\lambda=-i, autovetor exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}; multiplicidade algébrica 1; multiplicidade geométrica 1.]

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