Considere a Terra como uma esfera de massa
homogeneamente distribuída (densidade constante) e raio 6.400 km .
(a)
Qual a aceleração da gravidade da terra em sua superfície?
(b)
Qual o valor da aceleração da gravidade a uma profundidade (medida a partir da superfície) igual a metade do raio da Terra?
(c)
Qual o valor da aceleração da gravidade a uma altura (medida a partir da superfície) igual a metade do raio da Terra?
(d)
Determine a variação de energia potencial de um foguete
ao ser lançado da superfície da Terra e atingir uma altura (medida a partir da superfície da Terra) igual a metade do raio da Terra. Sua variação de energia potencial aumenta ou diminui? Qual deve ser a menor velocidade de lançamento para que o foguete atinja esta altura?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado trata da Terra considerada como uma esfera de massa
e raio
. Queremos (a) a aceleração da gravidade na superfície, (b) a aceleração a uma profundidade
, (c) a aceleração a uma altura
, e (d) a variação de energia potencial de um foguete de massa
ao subir de
até
, além da velocidade mínima de lançamento. Vamos usar a lei da gravitação universal e a expressão de campo dentro de uma esfera de densidade constante.
Passo 2
Para a superfície usamos
onde
e
.
Calculando
Calculando
Passo 3
No interior de uma esfera de densidade constante, a aceleração a uma distância
do centro é
logo
Para profundidade
temos
, então
Passo 4
Acima da superfície a distância é
, e
Passo 5
A variação de energia potencial gravitacional ao deslocar-se de
para
é
Fatorando,
Substituindo
e
,
A energia potencial aumenta (fica menos negativa).
Passo 6
Para que o foguete atinja essa altura, sua energia cinética inicial deve igualar
:
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) (aumenta);
(b)
(c)
(d)