Considere a Terra como uma esfera de massa 6 times 10^24 kg homogeneamente distribuída (densidade constante) e raio 6.400 km .
(a) (0,5) Qual a aceleração da gravidade da terra em sua superfície?
(b) (0,5) Qual o valor da aceleração da gravidade a uma profundidade (medida a partir da superfície) igual a metade do raio da Terra?
(c) (0,5) Qual o valor da aceleração da gravidade a uma altura (medida a partir da superfície) igual a metade do raio da Terra?
(d) (1,0) Determine a variação de energia potencial de um foguete (m=1 times 10^4 kg) ao ser lançado da superfície da Terra e atingir uma altura (medida a partir da superfície da Terra) igual a metade do raio da Terra. Sua variação de energia potencial aumenta ou diminui? Qual deve ser a menor velocidade de lançamento para que o foguete atinja esta altura?

Passo 1

O enunciado trata da Terra considerada como uma esfera de massa M=6times10^24,kg e raio R=6400,km. Queremos (a) a aceleração da gravidade na superfície, (b) a aceleração a uma profundidade d=R/2, (c) a aceleração a uma altura h=R/2, e (d) a variação de energia potencial de um foguete de massa m=1times10^4,kg ao subir de R até R+h, além da velocidade mínima de lançamento. Vamos usar a lei da gravitação universal e a expressão de campo dentro de uma esfera de densidade constante.

Passo 2

Para a superfície usamos
g0 = G,MR^2
onde G=6,67times10^-11,m^3,kg^-1,s^-2 e R=6,4times10^6,m.
Calculando
g0 = 6,67times10^-11times6times10^24(6,4times10^6)^2 approx9,8;m/s^2

Passo 3

No interior de uma esfera de densidade constante, a aceleração a uma distância r do centro é
g(r)=G,Mrm intr^2, Mrm int=Mr^3R^3,
logo
g(r)=G,MR^3,r =g0rR
Para profundidade d=R/2 temos r=R-d=R/2, então
grm int=g0R/2R=g02approx9,82=4,9;m/s^2

Passo 4

Acima da superfície a distância é r=R+h=R+R/2=1,5,R, e
g(r)=G,Mr^2 =g0R^2(1,5R)^2 =g0(1,5)^2 =g02,25 approx9,82,25=4,36;m/s^2

Passo 5

A variação de energia potencial gravitacional ao deslocar-se de ri=R para rf=R+h=1,5R é
De<a U =-G,M,ml(1rf-1rir) =-G,M,ml(11,5R-1Rr)
Fatorando,
De<a U =-G,M,ml(23R-1Rr) =+G,M,m,13R
Substituindo G,M/R=g0,R e m=10^4,kg,
De<a U =mg0,R3 =10^4cdot9,8cdot6,4times10^63 approx2,08times10^11,J
A energia potencial aumenta (fica menos negativa).

Passo 6

Para que o foguete atinja essa altura, sua energia cinética inicial deve igualar De<a U:
12 m v^2 = De<a U Longrightarrow v = raiz2,De<a Um =raiz2cdot2,08times10^1110^4 approx6,46times10^3;m/s

Resposta

(a) g0approx9,8;m/s^2\n
(b) grm intapprox4,9;m/s^2\n
(c) g(r)approx4,36;m/s^2\n
(d) De<a Uapprox2,08times10^11,J (aumenta); vminapprox6,46times10^3;m/s

Exercícios relacionados