Sobre um corpo de massa m=1 kg, atuam três forças, F1, F2 e F3. Em um dado sistemas de coordenadas cartesianas, temos: F1=imath+2 jmath-3 k N, F2=imath-k N, F3=-imath+jmath N.
O observador que descreve esse sistema é observador inercial.
(a) Calcule a força resultante sobre este corpo.
(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas forças e da força resultante.
(c) Calcule o ângulo que a força F1 faz com o eixo x.
(d) Calcule o ângulo entre as direções das forças F2 e F3.
(e) Obtenha o ângulo que a força resultante faz com o eixo z.
(f) Obtenha o vetor unitário da direção definida pela força F1.
(g) Qual o vetor aceleração deste corpo?

Passo 1

Temos um corpo de massa m=1,kg sobre o qual atuam três forças em componentes cartesianas:
vec F1=hatimath+2hatjmath-3hat k,
vec F2=hatimath-hat k e
vec F3=-hatimath+hatjmath.
O que se pede:
(a) soma vetorial (resultante),
(b) intensidades ( |vec Fi| e |,resultante |),
(c) ângulo entre vec F1 e o eixo x,
(d) ângulo entre vec F2 e vec F3,
(e) ângulo entre a resultante e o eixo z,
(f) vetor unitário na direção de vec F1,
(g) vetor aceleração via vec a=vec Frm res/m.
Vamos usar adição vetorial, norma de vetor raizx^2+y^2+z^2, produto escalar e lei de Newton.

Passo 2

Calcular a resultante
vec R=vec F1+vec F2+vec F3
Somando componentes:
em x: 1+1-1=1,
em y: 2+0+1=3,
em z: -3-1+0=-4.
Logo
vec R=hatimath+3hatjmath-4hat k

Passo 3

Calcular as intensidades
|vec F1|=raiz1^2+2^2+(-3)^2=raiz14, |vec F2|=raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2,
|vec F3|=raiz(-1)^2+1^2+0^2=raiz2, |vec R|=raiz1^2+3^2+(-4)^2=raiz26

Passo 4

Ângulo entre vec F1 e o eixo x:
costheta =vec F1cdothatimath|vec F1| =1raiz14 Longrightarrow theta=arccos!l(1/raiz14r)

Passo 5

Ângulo entre vec F2 e vec F3:
vec F2cdotvec F3 =1cdot(-1)+0cdot1+(-1)cdot0=-1, |vec F2||vec F3|=raiz2cdotraiz2=2,
cosphi=-tfrac12 Longrightarrow phi=120^circ

Passo 6

Ângulo entre a resultante e o eixo z:
cosgamma =vec Rcdothat k|vec R| =-4raiz26 Longrightarrow gamma=arccos!l(-4/raiz26r)

Passo 7

Vetor unitário na direção de vec F1:
hat u1 =vec F1|vec F1| =1raiz14hatimath +2raiz14hatjmath -3raiz14hat k

Passo 8

Aceleração do corpo pela 2ª lei de Newton ( m=1):
vec a=vec Rm=vec R =hatimath+3hatjmath-4hat k

Resposta

(a) vec R=hatimath+3hatjmath-4hat k
(b) |vec F1|=raiz14, |vec F2|=raiz2, |vec F3|=raiz2, |vec R|=raiz26
(c) theta=arccos!l(1/raiz14r)
(d) phi=120^circ
(e) gamma=arccos!l(-4/raiz26r)
(f) hat u1=1raiz14hatimath+2raiz14hatjmath-3raiz14hat k
(g) vec a=hatimath+3hatjmath-4hat k

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