Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua. Dados: massa da Terra:
; massa da Lua:
; distância entre Terra e Lua:
.
(a)
A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a nave é zero. Indique todas as passagens do seu cálculo, do contrário a resposta não será integralmente creditada.
(b)
A nave prossegue viagem em direção à lua e deixa cair um objeto, sem velocidade inicial, a 1000 km acima da superfície da lua. Com que velocidade o objeto se chocará com a lua? Considere que a aceleração da gravidade na superfície da lua é
. (Como o objeto está bem perto da Lua, podemos desprezar a ação gravitacional da Terra sobre o objeto.)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos achar o ponto ao longo da reta Terra–Lua onde a soma vetorial das forças gravitacionais de cada corpo sobre a nave se anula. O conteúdo aqui é a lei da gravitação universal de Newton e igualar as intensidades das forças. Na parte (b) soltamos um objeto a
,km acima da superfície lunar e pedem a velocidade de impacto usando conservação de energia (variação de energia potencial gravitacional da Lua), desprezando a atração da Terra sobre o objeto.
Passo 2
Para (a), seja
a distância do centro da Terra até o ponto de equilíbrio. A força gravitacional da Terra sobre a nave de massa
vale
e a da Lua, a distância
do centro lunar,
No ponto onde a resultante é zero, as magnitudes são iguais:
Passo 3
Cancelando
e
e extraindo raiz quadrada, obtemos
Logo
Passo 4
Substituindo
,kg,
,kg e
,m, temos
portanto
Passo 5
Para (b), usamos conservação de energia mecânica entre a posição inicial a distância
do centro da Lua e o solo lunar em
. A variação de energia potencial gravitacional é
Essa perda de potencial vira ½
, logo
Passo 6
Usando
,SI e
,kg e lembrando que
,m, obtemos numericamente
Resposta
(a)
m a partir do centro da Terra.
(b) m/s.
(b)