Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua. Dados: massa da Terra: MT=5,97 times 10^24 kg; massa da Lua: ML=7,35 times 10^22 kg; distância entre Terra e Lua: RT L=3,84 times 10^8 m.
(a) (1,5) A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a nave é zero. Indique todas as passagens do seu cálculo, do contrário a resposta não será integralmente creditada.
(b) (1,0) A nave prossegue viagem em direção à lua e deixa cair um objeto, sem velocidade inicial, a 1000 km acima da superfície da lua. Com que velocidade o objeto se chocará com a lua? Considere que a aceleração da gravidade na superfície da lua é ag=1,62 m / s^2. (Como o objeto está bem perto da Lua, podemos desprezar a ação gravitacional da Terra sobre o objeto.)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos achar o ponto ao longo da reta Terra–Lua onde a soma vetorial das forças gravitacionais de cada corpo sobre a nave se anula. O conteúdo aqui é a lei da gravitação universal de Newton e igualar as intensidades das forças. Na parte (b) soltamos um objeto a h=1000,km acima da superfície lunar e pedem a velocidade de impacto usando conservação de energia (variação de energia potencial gravitacional da Lua), desprezando a atração da Terra sobre o objeto.

Passo 2

Para (a), seja x a distância do centro da Terra até o ponto de equilíbrio. A força gravitacional da Terra sobre a nave de massa m vale
FT = G,MT,mx^2,
e a da Lua, a distância RTL-x do centro lunar,
FL = G,ML,m(RTL-x)^2
No ponto onde a resultante é zero, as magnitudes são iguais:
G,MT,mx^2 = G,ML,m(RTL-x)^2

Passo 3

Cancelando G e m e extraindo raiz quadrada, obtemos
raizMTx = raizMLRTL-x Longrightarrow RTL-xx = raizMLMT Longrightarrow xl(1+raiztfracMLMTr) =RTL
Logo
x = RTL1+raiztfracMLMT

Passo 4

Substituindo MT=5,97times10^24,kg, ML=7,35times10^22,kg e RTL=3,84times10^8,m, temos
raizMLMT =raiz7,35times10^225,97times10^24 approx0,111,
portanto
x =3,84times10^81+0,111 approx3,46times10^8 m

Passo 5

Para (b), usamos conservação de energia mecânica entre a posição inicial a distância ri=RL+h do centro da Lua e o solo lunar em rf=RL. A variação de energia potencial gravitacional é
De<a U =Uf-Ui =-G,ML,mrf +G,ML,mri =G,ML,ml(1ri-1rfr)
Essa perda de potencial vira ½ m,v^2, logo
tfrac12,m,v^2 =G,ML,ml(1ri-1rfr) Longrightarrow v =raiz2,G,MLl(1RL+h-1RLr)^-1

Passo 6

Usando G=6,67times10^-11,SI e ML=7,35times10^22,kg e lembrando que RL=raiztfracG,MLagapprox1,738times10^6,m, obtemos numericamente
v =raiz2,(6,67times10^-11)(7,35times10^22) l(11,738times10^6-12,738times10^6r) approx1,43times10^3 m/s

Resposta

(a) xapprox3,46times10^8 m a partir do centro da Terra.
(b) vapprox1,43times10^3 m/s.

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