Considere que a Terra gire em torno do Sol em uma órbita aproximadamente circular de raio R. Suponha que, num certo instante, sua velocidade orbital seja reduzida instantaneamente a zero e
ela então caia em linha reta em direção ao Sol. Se \Delta t é o tempo que a Terra levará para se chocar com o Sol e o ano terrestre é T=2 \pi \sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}, quanto é \Delta t / T ? Considere que R \gg R_{0} \gg R_{T} onde R_{0} e R_{T} são, respectivamente, os raios do Sol e da Terra.
Sugestão: Utilize conservação de energia e, na integração da equação de movimento da Terra, use a seguinte aproximação
\int_{R_{0}}^{R}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^{-1 / 2} d r \approx \frac{\pi}{2} R^{3 / 2}
Passo 1
Vamos listar cuidadosamente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
A Terra descreve inicialmente uma órbita aproximadamente circular de raio R.
Em um certo instante sua velocidade orbital é reduzida instantaneamente a zero e ela passa a cair radialmente em direção ao Sol.
O raio do Sol é R_{0} e o raio da Terra é R_{T}, com a hierarquia R \gg R_{0} \gg R_{T}.
O período orbital (ano) correspondente à órbita circular de raio R é T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^{3}}{G M}}, onde M é a massa do Sol e G a constante gravitacional.
Sugestão (que deve ser usada): \int_{R_{0}}^{R}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^{-1/2} dr \approx \frac{\pi}{2}R^{3/2}.
O que o enunciado pede:
Calcular a razão \dfrac{\Delta t}{T}, onde \Delta t é o tempo que a Terra leva para cair do raio R até atingir o Sol (atingir r\simeq R_{0}).
Passo 2
Conservação de energia (a aula curta e prática).
Princípio: se forças conservativas atuam (a gravidade é uma delas) e não há dissipação, a energia mecânica total E se conserva.
Energia potencial gravitacional de um corpo de massa m a distância r do Sol: -\dfrac{G M m}{r}.
Energia cinética: \dfrac{1}{2} m v^{2}, onde v é a velocidade radial do corpo (aqui a queda é radial).
Aplicando isso ao instante inicial (quando a velocidade é zerada em r=R) temos a energia total
E = -\frac{G M m}{R}.
Em um ponto genérico r durante a queda, a conservação de energia dá
\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r} = E = -\frac{G M m}{R}.
Isolando v^{2} (e cancelando m):
\frac{1}{2} v^{2} = G M\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right),
portanto
v(r)=\sqrt{2 G M\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)}.
Aqui v(r) é a velocidade em módulo; como r diminui no tempo, a componente radial usável é v=-\dfrac{dr}{dt} (o sinal menos indica r decrescendo).
Passo 3
Escrever o tempo de queda como integral (transformando velocidade em diferencial de tempo).
Da relação v=-\dfrac{dr}{dt} obtemos
dt = -\frac{dr}{v(r)} = -\frac{dr}{\sqrt{2 G M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)}}.
O intervalo de tempo total da queda de r=R até r=R_{0} é a integral
\Delta t = \int_{t_i}^{t_f} dt = \int_{R}^{R_{0}} \left(-\frac{dr}{\sqrt{2 G M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right)}}\right).
Trocando os limites para obter integral positiva (integrar de R_{0} até R):
\Delta t = \frac{1}{\sqrt{2 G M}} \int_{R_{0}}^{R} \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^{-1/2} dr.
Esta é a expressão exata que precisamos avaliar; a sugestão do enunciado fornece uma boa aproximação para essa integral quando R\gg R_0.
Passo 4
Usar a aproximação sugerida e simplificar.
Aplicando a sugestão do enunciado:
\int_{R_{0}}^{R}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)^{-1/2} dr \approx \frac{\pi}{2}R^{3/2}.
Substituindo na expressão de \Delta t:
\Delta t \approx \frac{1}{\sqrt{2 G M}}\cdot \frac{\pi}{2}R^{3/2}.
Reescrevendo:
\Delta t \approx \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\;\sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}.
Passo 5
Calcular a razão \dfrac{\Delta t}{T} cancelando o fator comum \sqrt{\dfrac{R^{3}}{G M}}.
Lembrando T=2\pi\sqrt{\dfrac{R^{3}}{G M}}, fazemos o quociente: