Considere a força
\vec{F}(x, y)=-20 b x^{3} y^{2} \vec{i}-10 b x^{4} y \vec{j},
em que b é uma constante. Sobre essa força, é correto afirmar que:
Resposta \nabla \times \vec{F}=0, e, portanto, \vec{F} é conservativa, obtida do potencial U(x, y)=5 b x^{4} y^{2}+K, sendo K uma constante arbitrária.

Passo 1

O enunciado nos dá a força
\vec{F}(x,y) = -20 b x^{3} y^{2}\,\vec{i} \;-\; 10 b x^{4} y\,\vec{j},
onde b é uma constante. A afirmação proposta é: \nabla\times\vec{F}=0, portanto \vec{F} é conservativa, obtida do potencial U(x,y)=5 b x^{4} y^{2}+K, com K constante.
O que precisamos verificar passo a passo:
  • Calcular \nabla\times\vec{F} (no caso bidimensional, o escalar \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}) e ver se é zero.
  • Se for zero, verificar se o domínio onde \vec{F} está definida é simplesmente conexo (para concluir que é conservativa).
  • Encontrar uma função escalar U(x,y) tal que \nabla U=\vec{F}, isto é, \dfrac{\partial U}{\partial x}=P e \dfrac{\partial U}{\partial y}=Q, onde P é a componente x e Q é a componente y de \vec{F}.
  • Comparar o potencial encontrado com o que foi proposto no enunciado.

Passo 2

Explicando a ideia do cálculo do rotor em 2D (modo passo a passo, sem pular etapas). Para um campo em duas variáveis escrito \vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j}, o “rotor” relevante (componente na direção \vec{k}) é dado por
\nabla\times\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Se esse valor for zero em todo um domínio que é simplesmente conexo (por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro), então \vec{F} é conservativa e existe um potencial U(x,y) tal que \nabla U=\vec{F}. Vou aplicar essa fórmula ao campo dado.

Passo 3

Identifico as componentes P e Q:
P(x,y) = -20 b x^{3} y^{2},\qquad Q(x,y) = -10 b x^{4} y.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias, com calma e mostrando cada passo.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y) = -10 b x^{4} y, tratar y como constante e derivar em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = -10 b \cdot \frac{d}{dx}(x^{4})\cdot y = -10 b \cdot 4 x^{3}\cdot y = -40 b x^{3} y.
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y) = -20 b x^{3} y^{2}, tratar x como constante e derivar em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = -20 b x^{3}\cdot \frac{d}{dy}(y^{2}) = -20 b x^{3}\cdot 2 y = -40 b x^{3} y.

Passo 4

Substituo na definição do rotor:
\nabla\times\vec{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-40 b x^{3} y) - (-40 b x^{3} y) = 0.
Portanto a igualdade \nabla\times\vec{F}=0 é correta (ocorre para todos (x,y) e para qualquer constante b). Boa notícia: a primeira parte da afirmação está correta.

Passo 5

Agora a parte sobre ser conservativa. Explicando uma pequena teoria necessária: em um domínio simplesmente conexo (por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro), se \nabla\times\vec{F}=0 então \vec{F} é conservativa — isto é, existe U com \nabla U=\vec{F}. O campo dado está definido e suave para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, e \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo, então podemos concluir que \vec{F} é conservativa. (Se o domínio tivesse furos, precisaríamos verificar mais carefully; aqui não há esse problema.)

Passo 6

Agora vou construir explicitamente o potencial U(x,y). Por definição queremos U tal que
\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y)=-20 b x^{3} y^{2}, \qquad \frac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y)=-10 b x^{4} y.
Integro a primeira equação em relação a x, tratando y como constante:
U(x,y)=\int -20 b x^{3} y^{2}\,dx = -20 b y^{2}\cdot \frac{x^{4}}{4} + g(y)
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Simplificando:
U(x,y) = -5 b x^{4} y^{2} + g(y).

Passo 7

Determino g(y) usando a condição para a derivada em y. Calculo \dfrac{\partial U}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5 b x^{4} y^{2} + g(y)\bigr) = -5 b x^{4}\cdot 2 y + g'(y) = -10 b x^{4} y + g'(y).
Mas sabemos que \dfrac{\partial U}{\partial y} deve ser igual a Q(x,y)=-10 b x^{4} y. Igualando:
-10 b x^{4} y + g'(y) = -10 b x^{4} y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Assim g(y)=K, constante arbitrária. Portanto o potencial é
U(x,y) = -5 b x^{4} y^{2} + K,
onde K é constante.

Passo 8

Comparação com a afirmação do enunciado: a afirmação dizia que o potencial seria U(x,y)=5 b x^{4} y^{2}+K (com sinal positivo). Pelo cálculo direto, o sinal correto é negativo: U(x,y)=-5 b x^{4} y^{2}+K. Logo a parte que afirmava \nabla\times\vec{F}=0 e que o campo é conservativo está correta, mas o potencial proposto no enunciado tem sinal trocado e portanto está incorreto.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=0.
\vec{F} é conservativa em \mathbb{R}^2.
O potencial correto é U(x,y)=-5 b x^{4} y^{2}+K, com K constante.

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