Considere a força
em que
é uma constante. Sobre essa força, é correto afirmar que:
Resposta
, e, portanto,
é conservativa, obtida do potencial
, sendo
uma constante arbitrária.
Resposta
Passo 1
O enunciado nos dá a força
onde
é uma constante. A afirmação proposta é:
, portanto
é conservativa, obtida do potencial
, com
constante.
O que precisamos verificar passo a passo:
O que precisamos verificar passo a passo:
- Calcular
(no caso bidimensional, o escalar ) e ver se é zero. - Se for zero, verificar se o domínio onde
está definida é simplesmente conexo (para concluir que é conservativa). - Encontrar uma função escalar
tal que , isto é, e , onde é a componente e é a componente de . - Comparar o potencial encontrado com o que foi proposto no enunciado.
Passo 2
Explicando a ideia do cálculo do rotor em 2D (modo passo a passo, sem pular etapas). Para um campo em duas variáveis escrito
, o “rotor” relevante (componente na direção
) é dado por
Se esse valor for zero em todo um domínio que é simplesmente conexo (por exemplo
inteiro), então
é conservativa e existe um potencial
tal que
. Vou aplicar essa fórmula ao campo dado.
Passo 3
Identifico as componentes
e
:
Agora calculo as derivadas parciais necessárias, com calma e mostrando cada passo.
Calcule
. Como
, tratar
como constante e derivar em relação a
:
Calcule
. Como
, tratar
como constante e derivar em relação a
:
Passo 4
Substituo na definição do rotor:
Portanto a igualdade
é correta (ocorre para todos
e para qualquer constante
). Boa notícia: a primeira parte da afirmação está correta.
Passo 5
Agora a parte sobre ser conservativa. Explicando uma pequena teoria necessária: em um domínio simplesmente conexo (por exemplo
inteiro), se
então
é conservativa — isto é, existe
com
. O campo dado está definido e suave para todo
, e
é simplesmente conexo, então podemos concluir que
é conservativa. (Se o domínio tivesse furos, precisaríamos verificar mais carefully; aqui não há esse problema.)
Passo 6
Agora vou construir explicitamente o potencial
. Por definição queremos
tal que
Integro a primeira equação em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Simplificando:
Passo 7
Determino
usando a condição para a derivada em
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Assim
, constante arbitrária. Portanto o potencial é
onde
é constante.
Passo 8
Comparação com a afirmação do enunciado: a afirmação dizia que o potencial seria
(com sinal positivo). Pelo cálculo direto, o sinal correto é negativo:
. Logo a parte que afirmava
e que o campo é conservativo está correta, mas o potencial proposto no enunciado tem sinal trocado e portanto está incorreto.
Resposta
O potencial correto é