Uma partícula de massa m se movimenta em três dimensões sob a ação de uma força central cuja energia potencial associada é dada por
U(r)=\frac{1}{3} k r^{3}
onde k é uma constante positiva.
Analise as três afirmações abaixo sobre esse sistema e escolha a alternativa correta.
I. A energia total E da partícula e seu momento angular \vec{L} são constantes de movimento.
II. A partícula pode apresentar uma órbita circular estável e a relação entre o módulo do momento angular L da partícula e o raio a dessa órbita circular é
L^{2}=m k a^{5}
III. Para determinados valores da energia total E, a partícula pode apresentar órbitas não limitadas, isto é, órbitas que não apresentam um limite superior para os valores assumidos pela coordenada radial r.
A) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
B) Apenas a afirmação I está correta.
C) Apenas a afirmação II está correta.
D) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
E) As afirmações I, II e III estão corretas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
Uma partícula de massa m move-se em três dimensões sob uma força central derivável de um potencial radial.
A energia potencial é
U(r)=\frac{1}{3}k r^{3},
com k>0.
O enunciado pede que eu analise a veracidade das três afirmações:
I. A energia total E e o momento angular \vec{L} são constantes de movimento.
II. A partícula pode apresentar uma órbita circular estável e a relação entre o módulo do momento angular L e o raio a da órbita circular é
L^{2}=m k a^{5}.
III. Para determinados valores da energia total E, a partícula pode apresentar órbitas não limitadas (isto é, r pode crescer sem limite).
Meu objetivo é examinar cada afirmação, provando ou refutando-a com argumentos e contas passo a passo.
Passo 2
Conservação de energia e momento angular em forças centrais (verificação da afirmação I).
Explicação didática:
Uma força central depende apenas de r e aponta radialmente: a força é da forma \vec{F}(r)=F(r)\,\hat{r}. Aqui F(r)=-\dfrac{dU}{dr}\,\hat{r}.
O torque em relação à origem é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}(r). Como \vec{F}(r) é paralelo a \vec{r}, tem-se \vec{\tau}=\vec{0}.
Se o torque é zero, o momento angular total \vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v} é conservado (\dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}=\vec{0}). Portanto \vec{L} é constante de movimento.
A força é conservativa (derivada de um potencial U(r) que não depende explicitamente do tempo), logo a energia mecânica total
E=T+U=\text{(energia cinética)}+U(r)
é constante no tempo.
Conclusão deste passo: a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Redução do problema à coordenada radial e construção da energia efetiva (base para as órbitas circulares).
Explicação didática:
Num problema central a órbita fica confinada a um plano. Em coordenadas polares no plano da órbita as componentes da velocidade são \dot{r} (radial) e r\dot{\varphi} (azimutal).
A equação de movimento radial é equivalente à de uma partícula unidimensional com energia E movendo-se no potencial U_{\text{ef}}(r):
E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U_{\text{ef}}(r).
Isso significa que os possíveis valores de r são aqueles para os quais U_{\text{ef}}(r)\le E. Esse é um conceito chave para entender órbitas ligadas ou não ligadas.
Passo 4
Condição para órbita circular e dedução da relação L^{2}=m k a^{5} (verificação da segunda parte da afirmação II).
Explicação didática do que é uma órbita circular:
Uma órbita circular de raio a corresponde a solução com r(t)=a constante, logo \dot{r}=0 e \ddot{r}=0.
Em termos do potencial efetivo, isso equivale a que r=a seja um ponto crítico de U_{\text{ef}}, ou seja,
\frac{d^{2}U_{\text{ef}}}{dr^{2}} = \frac{d}{dr}\!\left(-\frac{L^{2}}{m r^{3}}+k r^{2}\right) = \frac{3L^{2}}{m r^{4}}+2k r.
Avaliar em r=a e usar L^{2}=m k a^{5}:
\left.\frac{d^{2}U_{\text{ef}}}{dr^{2}}\right|_{r=a} = \frac{3L^{2}}{m a^{4}}+2k a = \frac{3m k a^{5}}{m a^{4}}+2k a =3k a+2k a=5k a.
Como k>0 e a>0, tem-se 5k a>0. Logo r=a é um mínimo de U_{\text{ef}} e a órbita circular é estável.
Conclusão: a afirmação II (órbita circular estável e relação L^{2}=m k a^{5}) é verdadeira.
Passo 6
Análise de possibilidade de órbitas não limitadas (verificação da afirmação III).
Explicação didática sobre órbitas não limitadas:
Orações não limitadas significam que existe energia E tal que a partícula possa escapar para r\to\infty (ou seja, não há limite superior para r).
Para que isso ocorra, é necessário que U_{\text{ef}}(r) tenda a um valor finito ou a -\infty quando r\to\infty, ou pelo menos que E supere o limite de U_{\text{ef}}(r) no infinito.
Vamos estudar o comportamento de U_{\text{ef}}(r) para r\to\infty. O termo centrífugo L^{2}/(2m r^{2}) tende a zero quando r\to\infty. O termo do potencial U(r) domina:
Com U_{\text{ef}}(r)\to+\infty, para qualquer energia finita E a desigualdade U_{\text{ef}}(r)\le E só pode ser satisfeita até algum valor finito de r. Assim r está necessariamente limitado superiormente pelas interseções U_{\text{ef}}(r)=E.
Mesmo no caso L=0 (movimento radial), o potencial efetivo é simplesmente U_{\text{ef}}(r)=\tfrac{1}{3}k r^{3}, que ainda tende a +\infty com r, impedindo escape para infinito com energia finita.
Conclusão: não existem órbitas não limitadas para qualquer energia finita; portanto a afirmação III é falsa.
Passo 7
Resumo das conclusões sobre as afirmações:
I é verdadeira (energia e momento angular são constantes).
II é verdadeira (existe órbita circular estável e L^{2}=m k a^{5}).
III é falsa (não há órbitas não limitadas para energias finitas, pois U_{\text{ef}}(r)\to+\infty quando r\to\infty).