Um sistema é constituído de três partículas, cada uma de massa unitária, com posições e velocidades instantâneas dadas por
Calcule a velocidade do centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema formado por três partículas, cada uma com massa igual a 1 unidade. As posições e velocidades de cada partícula são fornecidas. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de mecânica clássica, mais especificamente, entender o que é o centro de massa e como calcular sua velocidade usando as velocidades das partículas que compõem o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, considerando suas massas. A velocidade do centro de massa, então, é a média ponderada das velocidades das partículas.
Como todas as partículas têm a mesma massa (1 unidade), isso simplifica nossos cálculos, pois a média será apenas a média aritmética das velocidades.
Vamos anotar as velocidades de cada partícula:
- Partícula 1:
- Partícula 2:
- Partícula 3:
Agora, para encontrar a velocidade do centro de massa (
), usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ M $ é a massa total do sistema.
- $ m_i $ é a massa da $ i $-ésima partícula.
- $ \overrightarrow{\mathrm{v}}_{i} $ é a velocidade da $ i $-ésima partícula.
Como todas as massas são iguais a 1, $ M = 3 $ unidades.
Vamos somar as velocidades:
Simplificando:
Então, a soma das velocidades é:
Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa:
Resposta
A velocidade do centro de massa é igual a
.