A norma padrão ASTM E23 define métodos padronizados de testes para o impacto em barras entalhadas, feitas de materiais metálicos. A técnica Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto e é frequentemente utilizada para determinar se um material experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com decréscimo de temperatura. Dez medidas de energia ( J ) de impacto nos corpos de prova de aço A238, cortados a 60^{\circ} \mathrm{C}, são: 64, 1 ; 64,7 ; 64,5 ; 64,6 ; 64,5; 64, 3 ; 64,6 ; 64,8 ; 64,2 e 64,3 . Considere que a energia de impacto seja normalmente distribuída, \operatorname{com} \sigma=1 J, Econtre um IC de 95 \% para \mu, a energia média de impacto. Interprete o IC encontrado.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança (IC) de 95\% para a média verdadeira \mu da energia de impacto (em joules) do aço A238, a partir de uma amostra de n=10 medidas. As informações fornecidas são:
\text{Dados da amostra (em J): }64,1,\;64,7,\;64,5,\;64,6,\;64,5,\;64,3,\;64,6,\;64,8,\;64,2,\;64,3.
\sigma = 1\\ \text{J (desvio-padrão populacional conhecido).}ã
Nossas tarefas:
  1. Calcular um IC de 95\% para \mu.
  2. Interpretar esse IC.

Passo 2

Primeiro calculemos a média amostral \bar{x}. Somamos as observações e dividimos por n.
\sum_{i=1}^{10} x_i = 64,1+64,7+64,5+64,6+64,5+64,3+64,6+64,8+64,2+64,3 = 644,6
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{644,6}{10} = 64,46\\ \text{J.}
Explicação didática: a média amostral \bar{x} é o nosso melhor palpite pontual para \mu antes de considerar incerteza. Aqui ela é a soma dos valores dividida pelo número de observações.

Passo 3

Quando a variância populacional (ou desvio-padrão \sigma) é conhecida e as observações são (aproximadamente) normalmente distribuídas, o IC de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (já calculada).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central é 1-\alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96. Isso vem da tabela da normal padrão (ou do fato de que aproximadamente 95\% da distribuição normal fica dentro de \pm1,96 desvios-padrão).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui 1 J).
  • n é o tamanho da amostra.
    A quantidade \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média: mede a incerteza da média amostral em relação à média populacional.

Passo 4

Calculemos o erro padrão da média:
\text{erro padrão } = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0,31622777\\ \text{J}.ã
Mostrando arredondamento prático: \dfrac{1}{\sqrt{10}}\approx 0,3162.

Passo 5

Calculemos a margem de erro (meio da largura do IC):
\text{margem} = z_{0,025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96\cdot 0,31622777 \approx 0,61984\\ \text{J}.
Arredondando a um nível razoável de precisão: \text{margem}\approx 0,62\\ \text{J}.

Passo 6

Montamos o intervalo:
\text{limite inferior} = \bar{x}-\text{margem} = 64,46-0,62 = 63,84\\ \text{J},
\text{limite superior} = \bar{x}+\text{margem} = 64,46+0,62 = 65,08\\ \text{J}.
Portanto o IC de 95\% é (63,84\\ \text{J},\;65,08\\ \text{J}).

Passo 7

Interpretação (didática e prática): dizer que temos um IC de 95\% (63,84;\;65,08) significa que o procedimento usado para construir o intervalo tem a propriedade de, em muitas repetições independentes do experimento, produzir intervalos que conteriam o verdadeiro valor de \mu em cerca de 95\% das repetições. Não significa que a probabilidade de \mu estar no intervalo específico seja 95\% (pois \mu é um valor fixo), mas sim que estamos 95\% confiantes no procedimento que gerou este intervalo. Em linguagem prática: com a amostra observada, podemos afirmar que estamos razoavelmente confiantes de que a verdadeira média de energia de impacto do material está entre 63,84 J e 65,08 J. Isso dá uma medida da precisão da estimativa e mostra que a média está relativamente bem localizada, com incerteza de cerca de \pm0,62 J.

Resposta

\displaystyle \text{IC de }95\%\text{ para }\mu: (63,84\\ \text{J},\;65,08\\ \text{J})
Interpretação: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira média \mu da energia de impacto está entre 63,84 J e 65,08 J.

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