Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e x2=7,8. Use alpha=0,05.
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um teste de hipóteses para comparar duas médias, onde a hipótese nula é que as duas médias são iguais (H0: mu1 = mu2) e a hipótese alternativa é que elas são diferentes (H1: mu1 neq mu2). As variâncias são conhecidas (sigma1=10 e sigma2=5), temos os tamanhos das amostras (n1=10 e n2=15), as médias das amostras (x1=4,7 e x2=7,8) e o nível de significância (alpha=0,05). No item b, vamos ver como conduzir esse teste usando um intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança pode nos ajudar a decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Vamos construir um intervalo de confiança para a diferença entre as duas médias (mu1 - mu2).
Passo 3
Para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Aqui, Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 1 - alpha. Como alpha=0,05, estamos construindo um intervalo de confiança de 95%.
Passo 4
Vamos calcular o valor crítico Zalpha/2. Para um intervalo de confiança de 95%, temos:
Z0,025 = 1,96
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
Com o erro padrão calculado, podemos montar o intervalo de confiança:
(4,7 - 7,8) pm 1,96 cdot 3,4157
Primeiro, calculamos a diferença das médias:
4,7 - 7,8 = -3,1
Passo 7
Agora, calculamos a margem de erro:
1,96 cdot 3,4157 approx 6,6911
Passo 8
Finalmente, montamos o intervalo de confiança:
-3,1 pm 6,6911 Rightarrow (-9,7911 ; 3,5911)
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias é aproximadamente (-9,79 ; 3,59). Como esse intervalo inclui o valor 0, não rejeitamos a hipótese nula H0: mu1 = mu2 ao nível de significância de 5%.