Considere o teste de hipóteses H0: mu1=mu2 contra H1: mu1 neq mu2, com variâncias conhecidas sigma1=10 e sigma2=5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=10 e n2=15 e que x1=4,7 e x2=7,8. Use alpha=0,05.
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um teste de hipóteses para comparar duas médias, onde a hipótese nula é que as duas médias são iguais ( H0: mu1 = mu2) e a hipótese alternativa é que elas são diferentes ( H1: mu1 neq mu2). As variâncias são conhecidas ( sigma1=10 e sigma2=5), temos os tamanhos das amostras ( n1=10 e n2=15), as médias das amostras ( x1=4,7 e x2=7,8) e o nível de significância ( alpha=0,05). No item b, vamos ver como conduzir esse teste usando um intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que um intervalo de confiança pode nos ajudar a decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Vamos construir um intervalo de confiança para a diferença entre as duas médias ( mu1 - mu2).

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
(x1 - x2) pm Zalpha/2 cdot raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Aqui, Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 1 - alpha. Como alpha=0,05, estamos construindo um intervalo de confiança de 95%.

Passo 4

Vamos calcular o valor crítico Zalpha/2. Para um intervalo de confiança de 95%, temos:
Z0,025 = 1,96

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias:
raiz10^210 + 5^215 = raiz10010 + 2515 = raiz10 + 53 approx raiz10 + 1,6667 approx raiz11,6667 approx 3,4157

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos montar o intervalo de confiança:
(4,7 - 7,8) pm 1,96 cdot 3,4157
Primeiro, calculamos a diferença das médias:
4,7 - 7,8 = -3,1

Passo 7

Agora, calculamos a margem de erro:
1,96 cdot 3,4157 approx 6,6911

Passo 8

Finalmente, montamos o intervalo de confiança:
-3,1 pm 6,6911 Rightarrow (-9,7911 ; 3,5911)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias é aproximadamente (-9,79 ; 3,59). Como esse intervalo inclui o valor 0, não rejeitamos a hipótese nula H0: mu1 = mu2 ao nível de significância de 5%.

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